Lesson 6 - Converting Degrees to Radians and Vice Versa: Introduction to Trigonometry

LESSON 6 – Converting DEGREES to RADIANS and vice versa

Matapos nating mapag-aralan ang mga uri ng linya, salikop o anggulo, trianggulo, complementary at supplementary angles, gayundin ang katuturan ng Pythagorean Theorem, sa leksyon 6 ay susubukin naman nating lubos na maunawaan ang degree at radian.

Sa araling ito, malalaman mo ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang yunit ng pagsukat na ginamit para sa mga anggulo: degree at radian. Malalaman mo rin kung paano i-convert ang isang unit sa isa pa.

Ang araling ito ay mahalaga sapagkat may mga problema na maaaring matugunan mo sa hinaharap na nagsasangkot ng pagsukat ng mga anggulo.

Pagmasdan ang bilog sa ibaba:

CIRCUMFERENCE = the yellow ring

The circumference is the distance around a circle. It is always equal to 360 unit (either  degree (o) or radian (rad)).

A degree is a unit of measurement equal to 1/360 of the circumference of a circle. 

From this, we can conclude that:

     90^o = 90 (1/360) of the circumference = ¼ of the circumference 

   180^o = 180 (1/360) of the circumference = ½ of the circumference 

   270^o = 270 (1/360) of the circumference = ¾ of the circumference

The circumference of a circle = 2π (2 pi). (pi is pronounced as “pie”)

π (pi) = is a symbol that has a constant value. Ito ay katumbas ng 3.1416 o ≈ 3.1416 na nakuha matapos i-divide ang circumference sa 2 radius (o diameter).

 Hindi eksakto ang value ng pi kaya ginagamit ang simbolong ≈, na ang ibig sabihin ay “approximate”. 

There are π/180^o or 0.01745 rad in 1°. So, to convert degrees to radians, we multiply the number of degrees by π/180^o or 0.01745 rad. 

 

Ang isang degree ay may katumbas na π/180^o o  0.01745 rad. Kung gayon, para ma-convert ang value ng degree sa radian, i-multiply lamang ang degree sa π/180^o  o  0.01745 rad..

Mga Halimbawa

Convert the following degrees into radians.

1. 30^o  = 30^o (π/180^o) = 3π/18 = π/6 rad

2. 90^o  = 90^o (π/180^o) = 9π/18 = π/2 rad

3. 225^o  = 225^o (π/180^o) = 45π/36 = 5π/4 rad

4.  74^o = 74^o (0.01745) = 1.2913 rad

5. 300^o = 300^o (0.01745) = 5.235 rad

There are 180^o/π or 57.2956^o  in 1 rad. Thus, to convert radians to degrees, we multiply the number of radians by 180^o/π or 57.2956°.

 

Ang isang radian o 1 rad ay may katumbas na 180^o/π  o  57.2956 degrees. Kung gayon, para ma-convert ang value ng radian sa degree, i-multiply lamang ang radian sa 180^o/π  o  57.2956^o.

Mga Halimbawa

Convert the following radians into degrees.

1. 3π/4 rad = 3π/4 (180^o/π) = 540/4 = 135^o

2. 5π/3 rad = 5π/3 (180^o/π) = 900/3 = 300^o

3. 11π/6 rad = 11π/6 (180^o/π) = 1980/6 = 330^o

4. 0.6 rad = 0.6 (57.2956^o) = 34.3774^o

5. 2π rad =  2 (3.1416) (57.2956^o) = 360^o

Tandaan

1. A degree is equal to 1/360 of the circumference of a circle.

2. A radian, if placed at the center of a circle, makes an arc equal to the radius of the circle.

3. p180° rad or .01745 rad = 1°

4. To convert degrees to radians, we multiply the number of degrees by π/180° or  0.01745.

5. 180°/p or 57.2956° = 1 rad.

 6. To convert radians to degrees, we multiply the number of radians by 180°/π or 57.2956°.

                        

A pi (π) has an approximate value of 3.1416  or 22/7.  π =  circumference/diameter of a circle

Lesson 5 - Triangles: Introduction to Trigonometry in Taglish

Lesson 5 - TRIANGLES

Bago natin suungin ang aralin tungkol sa triangle o trianggulo na siyang pinakabasehan ng Trigonometry, alalahanin nating muli ang ating mga napag-aralan na:

• An angle is formed by two rays with a common endpoint. The two rays are called the sides of the angle and the common endpoint is called the vertex.

• Angles are usually named using three capital letters of the English alphabet. But they can also be named using numbers or letters of the Greek alphabet.

• A protractor is an instrument used to measure an angle. The units of measurement for angles are degrees (°) or radians (r).

• Angles are classified according to their measurements.

• Acute angle — an angle whose measurement is less than 90°.

• Right angle — an angle whose measurement is exactly 90°.

• Obtuse angle — an angle whose measurement is more than 90°

but less than 180°.

• Straight angle — an angle whose measurement is exactly 180°.

• Reflex angle — an angle whose measurement is more than 180°

but less than 360°.

• If the sum of the measurements of two angles is 90°, they are complementary angles.

• To find the measurement of the complement of a given angle, subtract the measurement of the given angle from 90°.

• If the sum of the measurements of two angles is 180°, they are supplementary angles.

• To find the measurement of the supplement of a given angle, subtract the measurement of the given angle from 180°.

After learning all about angles in the previous lesson, you are now ready to tackle more complicated figures such as triangles. This lesson will focus on the different kinds of triangles. The knowledge you will gain from this lesson will hopefully help you in solving real-life problems. 

Matapos mong malaman ang lahat tungkol sa mga anggulo sa nakaraang aralin, handa ka na ngayon upang harapin ang mas kumplikadong mga pigura tulad ng mga triangles. Ang aralin na ito ay magtutuon sa iba't ibang mga uri ng mga triangles. Ang kaalamang makukuha mo mula sa araling ito ay sana makatulong sa iyo sa paglutas ng mga problema sa totoong buhay.

Ano ang triangle?

A triangle is a polygon with three sides and three angles.

Ang trianggulo ay isang polygon na may tatlong gilid at tatlong anggulo.

Masdan ang triangle sa itaas. Ang simbolo para sa isang trianggulo ay D. Tatawagin nating  D QRP ang pigura sa itaas. Ang sides o mga gilid ng D QRP ay QR (RQ), QP (PQ), at RP (PR). Ang tatlong angles naman ay ÐQ,  ÐR, at ÐP.

What are the different kinds of triangles?

A. Triangles are classified according to the lengths of their sides.

Ang mga trianggulo ay kinaklase ayon sa haba ng mga sides/gilid nito.

1. A scalene triangle is a triangle with no congruent side. Congruent means having the same or equal measure.

In the above figure, PQ ≠ QR ≠ PR, so ΔPQR is a scalene triangle.

2. An isosceles triangle is a triangle with two congruent sides.

3. An equilateral triangle is a triangle with three congruent sides.

B. Triangles are also classified according to the kinds of angles that make them up.

1. A triangle with a right angle is called a right triangle. A right angle measures 90 degrees.

2. A triangle that is made up of three acute angles is called an acute triangle. An acute angle measures more than zero degrees but less than 90 degrees.

3. A triangle with an obtuse angle is called an obtuse triangle. An obtuse angle measures more than 90 degrees but less than 180 degrees.

In summary, triangles are classified according to the lengths of their sides and the angles that they make up. See the illustration below from  https://www.cuemath.com to understand and remember the concept:

Pagsasanay

        Upang matasa kung nauunawaan ang leksyon, sagutin ang mga sumusunod na katanungan:

1. Magkakasukat ang tatlong gilid o sides ng isang trianggulo. Ang triangle na ito ay tinatawag na __________ triangle.

A. right 

B. equilateral

C. isosceles

D. acute

2. Isa sa mga angles ng triangle na ito ay may sukat na 91 degrees. Ang triangle na ito ay isang ________ triangle.

A. right

B. acute

C. obtuse

D. isosceles

3. Ang isosceles triangle ay may magkakaparehong sukat ng _______ gilid o sides.

A. isa

B. dalawa

C. tatlo

D. apat

4. May tatlong acute angles ang triangle na ito na hindi magkakapareho ang sukat. ________ triangle ang tawag dito.

A. acute

B. scalene

C. obtuse

D. right

5. Ang mga sides o gilid ng triangle na ito ay iba-iba ang mga sukat. Ang tawag sa triangle na ito ay ________ triangle.

A. equilateral

B. isosceles

C. reflex

D. scalene

6. Ang sukat ng  mga angles ng isang equilateral triangle ay _________.

A. iba-iba

B. 30 degrees

C. 45 degrees

D. 60 degrees

7. Ang supplementary angle ng ÐY = 30 degrees ay _______ degrees.

A. 60

B. 90

C. 150

D. 330

8. Alin sa mga sumusunod na pares ang complementary angles?

A. Ð2  = 30^o    |     ÐA = 30^o

B. Ð3  = 35^o    |     ÐB = 35^o

C. Ð4   = 45^o   |     ÐC = 45^o

D. Ð5   =  90^o  |     ÐM = 90^o

9. Ang triangle na ito ay may dalawang gilid na magkakapareho ang sukat. _______ triangle ang tawag dito.

A. isosceles

B. equilateral

C. complementary

D. right

10. Ilang right angle mayroon ang isang right triangle?

A. wala

B. isa

C. dalawa

D. tatlo

Mga sagot sa pagsasanay

Lesson 4 - Problem-Solving Using Pythagorean Theorem: Introduction to Trigonometry in Taglish

LESSON 4 – SOLVING REAL-LIFE PROBLEMS USING THE PYTHAGOREAN THEOREM

Matapos nating mapag-aralan ang mga uri ng linya, salikop o anggulo, complementary at supplementary angle gayundin ang katuturan ng Pythagorean Theorem, sa leksyon 4 ay susubukin naman nating mabigyang solusyon ang mga halimbawa ng mga problema sa tunay na buhay gamit ang bisa ng Pythagorean Theorem ni Pythagoras.

Dapat lamang nating tandaan na ang Pythagorean Theorem ay ginagamit lamang kung may mabubuo tayong right angle o right triangle.

STEPS in solving problems involving RIGHT TRIANGLES:

Nasa ibaba ang mga hakbang upang masolusyonan ang isang Math problem na kinassangkutan ng Right Triangle:

STEP 1 Identify the hypotenuse and the legs of the triangle. (Tukuyin ang hypotenuse at mga legs ng triangle.)

STEP 2 Use the formula derived from the Pythagorean theorem. (Gamitin ang formula ng Pythagorean theorem: c2 = a2 + b2)

STEP 3 Substitute the given values to the variables in the formula and solve for the unknown. (Ilagay ang mga values na ibinigay sa problema at hanapin ang unknown.)

STEP 4 Simplify to get the final answer. (Gawing simple ang sagot)

[Problem 1 to 4 from ALS Junior High School Module Trigonometric Functions 1]

Problem 1

Jake was performing his favorite billiard trick shot. He hit the cue ball and it went to one corner of the table, rolled to the other corner, hit the exact center of the back cushion and hit the eighth ball causing it to drop into one of the holes before returning to its original position. If the dimensions of the table are 6 ft. by 8 ft., how far did the cue ball travel?

Problem 2

Alice, a landscape architect, designed a flowerbed for a very important client. The flowerbed will take the shape of a right triangle with legs equal to 12 ft. and 9 ft. She wants to place some decorative stones along the hypotenuse of the flowerbed 1 ft. apart. How many stones does she need?

Problem 3

Two cars start traveling perpendicularly away from each other from the same place. If one travels 6 km and the other 8 km, how far apart will they be from each other using their bumpers as points of reference? 

Problem 4

A pendulum travelled 30 cm away from a center line. The center line is 40 cm long. What is the distance between the pendulum and one end of the center line?

Problem 5

A ladder 13 m long is placed on the ground in such a way that it touches the top of a vertical wall 12 m high. Find the distance of the foot of the ladder from the bottom of the wall. 

(Source: https://www.math-only-math.com)

TANDAAN

1. Magagamit lamang ang Pythagorean Theorem sa  mga right angles o right triangles.

2. Hindi lang sukat ng hypotenuse ang mahahanap sa Pythagorean Theorem kundi maging ang iba pang sukat/haba ng mga sides/legs (opposite and adjacent sides) kung ang 2 sukat ay ibinigay.

3. Mag-drawing kung hindi ma-imagine ang larawang isinasaad ng problem.

4. Tandaan ang square root ng ilang bilang tulad ng:

1 = square root ng 1 dahil 1 x 1 or 1² = 1

2 = square root ng 4 dahil 2 x 2 or 2² = 4

3 = square root ng 9 dahil 3 x 3 or 3² = 9

4 = square root ng 16 dahil 4 x 4 or 4² = 16

5 = square root ng 25 dahil 5 x 5 or 5² = 25

6 = square root ng 36 dahil 6 x 6 or 6² = 36

        7 = square root ng 49 dahil 7 x 7 or 7² = 49

8 = square root ng 64 dahil 8 x 8 or 8² = 64

9 = square root ng 81 dahil 9 x 9 or 9² = 81

10 = square root ng 100 dahil 10 x 10 or 10² = 100

11 = square root ng 121 dahil 11 x 11 or 11² = 121

12 = square root ng 144 dahil 12 x 12 or 12² = 144

13 = square root ng 169 dahil 13 x 13 or 13² = 169

14 = square root ng 196 dahil 14 x 14 or 14² = 196

15 = square root ng 225 dahil 15 x 15 or 15² = 225

Alalahanin na ang 

A = square root ng Y dahil A x A (A times A) or A² = Y

A square root of a number (Y) is one of the factors (A)  of Y such that when you multiply it TWO (2) times (A x A) or you square it (A²), you will get that number Y.

Lesson 3 - Pythagorean Theorem: Introduction to Trigonometry | Trigonometry in Taglish

LESSON 3 – PYTHAGOREAN THEOREM

Sa unang dalawang leksyon ay napag-aralan natin ang tungkol sa mga uri ng linya at mga uri ng anggulo o salikop. Ngayon naman, nakatakda nating alamin ang Pythagorean Theorem at paano ito makatutulong upang lalo pa nating maunawaan ang Trigonometry.

Bago ito, alamin muna natin kung ano ang sinasabing complementary at supplementary angles.

Complementary angles = ang dalawang anggulo ay complementary kung ang suma o total ng kanilang mga angles ay 90 degrees (90^o).

Ibig sabihin, ∠A  +  ∠B = 90^o

If ∠XYZ  = 36^o     and  ∠ 345 = 54^o, then we can say that ∠XYZ is a complement of ∠345  (and vice versa) because their sum is 90^o.  We can also say that because the sum of their angles is 90^o, ∠XYZ and ∠345 are complementary angles.

Supplementary angles = ang dalawang anggulo ay supplementary kung ang suma o total ng kanilang mga angles ay 180 degrees (180^o).

Ibig sabihin, ∠V  +  ∠W = 180^o

If ∠DEF  = 45^o     and  ∠ 123 = 135^o, then we can say that ∠DEF is a supplement of ∠123  (and vice versa) because their sum is 180^o.  We can also say that because the sum of their angles is 180^o, ∠DEF and ∠123 are supplementary angles.

Base sa kanilang depinisyon, ang angle na mabubuo ng dalawang complementary angles ay right angle (dahil ang sukat nito ay 90 degrees).  Straight angle naman ang mabubuo ng dalawang supplementary angles (dahil ang sukat nito ay 180 degrees).

PAGSASANAY

1. Give the complement of  ∠ABC if its measure is 37^o.

A. 153^o

B. 143^o

C.  53^o

D. 43^o

2. If two angles are right angles, then they are ___.

A. complementary

B. supplementary

C. straight angles

D. obtuse angles 

3. Tukuyin ang mga complementary angles sa larawan:

        A. ∠AXB at ∠BXD

B. ∠BXC at ∠CXD

C. ∠AXC at ∠CXD

D. ∠AXB at ∠BXC

4. Ano ang supplementary angle ng ∠AXB sa larawan?

        A. ∠BXC only

B. ∠AXD only

C. Both ∠BXC at ∠AXD

D. ∠DXC

5. If ∠PUJ is 25^o, then the measure of its supplement is ________?

        A. 20^o

B. 65^o

C. 155^o

D. 335^o

Ang aralin sa Pythagorean Theorem ay mahalaga sapagkat ito ay magtuturo sa iyo kung paano malutas ang mga problema sa totoong buhay na may kinalaman sa mga anggulo. Ngunit kailangan mo munang magkaroon ng kaalaman tungkol sa square root ng isang numero upang maunawaan nang mabuti ang araling ito.

Ano ang SQUARE ROOT?

Sa Matematika, ang square root ay isang factor ng isang numero na, kapag minultiply sa kanyang  sarili, ay nagbibigay ng orihinal na numero. 

Halimbawa, ang 3 at –3 ay parehong factor ng 9. Kapag minultiply ang 3 sa kanyang sarili, 3 x 3 o 3², makukuha ang 9 dahil 3 x 3 = 9 o 3² = 9.  Gayundin, kapag minultiply ang -3 sa kanyang sarili, (-3) x  (-3)  o (-3²), makukuha ang 9 dahil (-3) x (-3) = 9 o (-3²) = 9. Kung ganoon, masasabi na ang square root ng 9 ay 3 at (-3) [negative 9].

Sa iba pang paliwanag, ang square root ng isang bilang na kinakatawan ng x ay isang bilang na kinakatawan ng y tulad ng y² = x; sa madaling salita, ang bilang y ay ang square root ng  x. Halimbawa, ang 5 at −5 ay square root ng 25, dahil 5² =(-5²)= 25.

Paano makukuha ang square root ng isang numero?

Isang paraan upang makuha ang square root ng isang bilang ay isipin lamang ang mga factors ng bilang na iyon. Kapag minultiply mo ng 2 beses ang factor na iyong napili at lumabas ang bilang na iyon, ang factor na iyong napili ay ang square root ng bilang na iyon.

Halimbawa:

Ano ang square root ng 64?

Step 1: Isulat ang mga factors ng 64.

Ano ang factors ng isang bilang?

Ang mga ito ay ang mga numero na kapag minultiply mo ay makukuha mo ang bilang na binanggit. 

Ano –ano ang factors ng 64?

Ang mga factors ng 64 ay 1, 2, 4, 8, 16, 32, at 64 dahil:

1 x 64 = 64 2 x 32 = 64

4 x 16 = 64 8 x 8 = 64

        Step 2: Piliin ang numero na inulit ng 2 beses para makuha ang 64.

Sa mga numerong nasa itaas, mapapansin na ang square root ng 64 ay 8 dahil 8² =64. Gayunman, malalaman din natin sa susunod na mga lesson na 2 ang square root ng isang bilang, isang positive at isang negative. Kaya, square root din ng 64 ang -8 (negative 8) dahil (-8²) = 64.

Matapos nating malaman kung ano ang square root ng isang bilang at kung paano ito makukuha, handa na tayong pag-aralan ang Pythagorean Theorem. Pero bago ito, kilalanin muna natin si Pythagoras na siyang pinagmulan ng teoryang ito.

Sino si Pythagoras?

Si Pythagoras ng Samos (c. 570 - c. 495 BC) ay isang sinaunang pilosopong Greek na Ionian at ang eponymous na nagtatag ng Pythagoreanism. Ang kanyang mga katuruang pampulitika at pangrelihiyon ay kilalang kilala sa Magna Graecia at naiimpluwensyahan ang mga pilosopiya ni Plato, Aristotle, at, sa pamamagitan nila, pilosopiya sa Kanluranin. Ang kaalaman sa kanyang buhay ay nalilimutan ng alamat, ngunit lumilitaw na siya ay anak ni Mnesarchus, isang mang-uukit ng mutya sa isla ng Samos. (Wikipedia)

Ano ang Pythagorean Theorem o Pythagoras’ Theorem ?

Sa Matematika, ang teorya ng Pythagorean, o teorya ng Pythagoras, ay isang pangunahing kaugnayan sa Euclidean Geometry sa mga tatlong panig/gilid ng isang right triangle. Nakasaad dito na ang area ng parisukat na ang panig ay ang hypotenuse (ang gilid sa tapat ng right angle) ay katumbas ng kabuuan ng mga area ng mga parisukat sa iba pang dalawang panig. Ang teoryang ito ay maaaring nakasulat bilang isang equation na nauugnay sa haba ng mga gilid ng a, b at c, na madalas na tinatawag na Pythagorean equation:

a² + b² = c² 

kung saan kumakatawan sa c ang haba ng hypotenuse at a at b ang haba ng iba pang dalawang panig/gilid ng tatsulok.

Upang maunawaan natin nang lubusan ang kahalagahan ng Pythagorean Theorem, magbigay tayo ng halimbawa sa tunay na buhay.

Masdan natin ang larawan sa ibaba:

Anong anggulo ang nabuo ng hagdan at ng lupa?

Kung ang sagot mo ay right angle, tama ka.

Ano ang distansya mula sa lupa hanggang sa tuktok ng slide (o haba ng hagdan)? 

Kung ang sagot mo ay 3 units, magaling!

Gaano kalayo ang ibabang bahagi ng hagdan hanggang sa ibabang bahagi ng slide?

Tama ka kung 4 units ang iyong sagot.

Ngunit paano natin makalkula ang haba ng slide? Magagawa natin ito sa pamamagitan ng paggamit ng Pythagorean theorem base sa ibinigay na haba ng hagdan at ang distansya mula sa ibabang dulo ng slide hanggang sa ibabang dulo ng hagdan.

Sa ating aktibidad, ang hagdan at ang lupa ay bumuo ng isang right angle. Kaya, isang right triangle ay nabuo kasama ang slide.

Ang  right triangle ay tatsulok na may right angle. Ang gilid na katapat ng right angle ay tinatawag na hypotenuse. Ang dalawang gilid naman ay tinatawag na legs.

Mapapansin sa larawan na ang pinakamahabang side o gilid ay ang hypotenuse.

Ang dalawang legs ay maaaring tawaging adjacent at opposite side depende kung anong anggulo ang pinagbabatayan. Ang opposite side ay katapat ng anggulong batayan. Adjacent side naman ang tawag sa gilid ng angle na binabanggit.

Tulad nang nabanggit sa itaas, upang makalkula ang haba ng isang gilid ng isang tatsulok, magagamit natin ang teorya ng Pythagorean na nagsasaad na:

Sa isang right triangle, ang square ng hypotenuse ay katumbas ng square ng isang gilid (opposite side) kasama ang square ng isa pang gilid (adjacent side).

Ang ibig sabihin ng square ng hypotenuse ay i-multiply ang sukat ng hypotenuse sa kanyang sarili.

Kung ang sukat ng hypotenuse ay kinakatawan ng titik c, ang square ng hypotenuse ay c x c  or c².

Gayundin ang paglalarawan nito sa dalawa pang gilid.

Square ng opposite side = a x a or a²

Square ng adjacent side = b x b or b²

Pagsamahin natin ang lahat ng mga gilid upang mabuo natin ang Pythaghorean formula:

c² = a² + b²   or a² + b²  = c²

Balikan natin ang larawan sa itaas at kalkulahin natin ang sukat ng slide, gamit ang formula sa itaas.

I-presenta natin ang sukat ng hagdan bilang titik a, at tiktik b naman ang distanya mula sa ibaba ng hagdan hanggang ibaba ng slide. Ang sukat naman ng slide ay titik c. 

Base sa larawan, lagyan natin ng value ang mga titik:

a = 3

b = 4

c =  ?

Gamit ang formula sa ibaba, kalkulahin natin ang sukat ng slide:

c² = a² + b²

c² = 3² + 4²

c² = 9 + 16

c² = 25

c =  25^1/2  or √𝟐𝟓

c = 5 at (-5)  [Disregard -5 because we are only interested in positive value]

c = 5 units  final answer

Upang lubos na maunawaan pa ang tungkol sa Pythagorean Theorem, sasagutin natin sa susunod na leksyon ang ilang pagsasanay na problema na may kinalaman sa tunay na buhay na kinasasangkutan ng right triangles.

Dapat natin tandaan sa ngayon na ang Pythagorean Theorem ay akma lamang kung ang tatsulok o triangle ay right triangle. Hindi ito angkop sa iba pang uri ng tatsulok tulad ng  isosceles, equilateral, scalene, obtuse, at acute triangle.

May iba pang mga paraan upang makuha ang square root ng isang bilang. Ito ay tatalakayin sa ibang leksyon.

Mga sagot sa pagsasanay:

1. C

2. B

3. B

4. C

5. C

 

Lesson 2 - Angles: Introduction to Trigonometry | Trigonometry in Taglish

LESSON 2 – ANGLES (Mga SALIKOP O ANGGULO)

Sa araling ito, malalaman mo kung ano ang anggulo o salikop. Malalaman mo rin ang iba't ibang mga uri ng mga anggulo at kung paano ito sinusukat.

Ang pag-alam tungkol sa mga anggulo ay napakahalaga sapagkat may mga problemang maaari nating harapin na nangangailangan ng kaalaman sa mga anggulo at kanilang mga sukat. Ang kaalamang ito ay kapaki-pakinabang din sa paggawa ng ating pang-araw-araw na gawain tulad ng pagsasabi ng oras. 

Isang paraan upang maunawaan ang iba’t ibang uri ng angles ay ang pagmamasid sa isang orasan. Mapapansin na ang isang ordinaryong orasan ay may dalawang kamay, isang maliit at isang malaki. (Huwag muna nating pansinin ang ikatlong maliit na kamay na para sa segundo.) Ang dalawang kamay na ito o ray ay may iisang endpoint. Ang endpoint na ito ay tinatawag ding vertex. Ang angle o salikop ay nalilikha kapag ang dalawang linya ay nagsalubong o nag-intersect sa iisang point.

Paano bibigyan ng pangalan ang isang angle?

Ang isang angle ay maaaring pangalanan sa pamamagitang ng tatlong magkakaibang malalaking titik. Masdan ang larawan sa ibaba. Tatlong anggulo ang nakalarawan dito:

∠ABC (Pagbasa: Angle ABC),    ∠BCA,   at   ∠BAC. Dapat nating tandaan na sa pagbibigay pangalan sa isang salikop, ang ikalawa o gitnang titik ay para sa vertex o ang intersecting point.

Maliban sa 3 malalaking titik, maaari ring pangalanan ang isang angle ng isang titik lamang o isang numero, tulad ng nasa ibabang larawan.

Ilang angles ang nakita mo sa larawan?

                                            

The PROTRACTOR

Ang nakalarawan sa ibaba ay tinatawag na protractor. Ito ay isang aparato na ginagamit upang sukatin ang isang anggulo.

Mag-ingat sa pagbasa ng tamang hanay ng mga numero dahil ang isang protractor ay may dalawang hanay ng mga numero: ang isang hanay ay nagmula sa 0 hanggang 180, ang isa pang hanay ay mula 180 hanggang 0. Alin man sa iyong nabasa ay nakasalalay sa kung paano mo inilalagay ang protractor: ilagay ito upang ang isang gilid ng anggulo ay nakahanay  sa  isa sa mga zero, at basahin ang hanay ng mga numerong iyon upang masukat ang tamang anggulo.

Paano Gumamit ng Protractor?

Upang masukat ang isang anggulo gamit ang isang protractor, sundin ang mga hakbang sa ibaba.

1. I-line up ang vertex ng anggulo gamit ang tuldok sa gitna ng protractor.

2. I-line up ang isang gilid ng anggulo na may 0 degree sa protractor.

3. Basahin ang protractor upang makita kung saan ang isa pang gilid ng anggulo ay tumumbok sa number scale.

    This angle measures 120 degrees, or 120°.

This angle measures 35 degrees, or 35°.

Degree ( ° ) is the unit of measurement for angle.

Pagmasdan ang mga larawan sa ibaba at isulat kung ano ang sukat na anggulo base sa protractor.

Mga Uri ng Anggulo

1. Acute angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay lampas sa zero degree nguni’t mas mababa sa 90 degrees, 

2. Right angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay eksaktong 90 degrees.

3. Obtuse angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay mas malaki sa 90 degrees subali’t mas mababa sa 180 degrees.

4. Straight angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay eksaktong180 degrees.

5. Reflex angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay mas malaki sa 180 degrees subali’t mas mababa sa 360 degrees.

6. Complete  or full angle  -  ang tawag sa isang salikop kung ang sukat nito ay eksaktong 360 degrees.

PAGTATASA (Assessment) : Lines and Angles

1. Kung ang dalawang linya ay hindi maaaring makagawa ng isang anggulo, ito ay tinatawag na _______.

A. Intersecting lines

B. Parallel lines

C. Perpendicular lines

D. Straight lines

2. Dalawang linya na makalilikha ng apat na right angles.

A. Intersecting lines

B. Parallel lines

C. Perpendicular lines

D. Straight lines

3. Anong mga anggulo ang malilikha ng dalawang intersecting lines?

A. 2 right at 2 acute angles

B. 4 na acute angles

C. 2 acute at 2 obtuse angles

D. 1 acute, 1 right, at 2 obtuse angles

4. Sa larawan, anong uri ng anggulo ang nilikha ng dalawang kamay ng orasan?

A. Acute angle

B. Right angle

C. Reflex angle

D. Obtuse angle

5. Sa larawan, anong uri ng anggulo ang nilikha ng dalawang kamay ng orasan?

A. Acute angle

B. Right angle

C. Obtuse angle

D. Reflex angle

6. Sa larawan, alin ang obtuse angle?

∠CEG II. ∠CEF

III. ∠BEF IV. BEG

A. I

B.  II and  III

C. II and IV

D. I and IV

7. Alin sa mga sukat ang halimbawa ng isang acute angle?

A. 170 degrees

B.  115 degrees

C.  90 degrees

D. 37 degrees

8. Ano ang sukat ng anggulo na sinukat ng protractor?

A. 60 degrees

B.  65 degrees

C.  120 degrees

D. 180 degrees

9. Ilang obtuse angle ang maaaring kapalooban ng isang straight angle?

A. 0

B.  1

C.  2

D. 4

10. Kung ang isang angle ay may sukat na 18 degrees, anong sukat ang kailangan nito upang maging right angle?

A. 12 degrees

B.  42 degrees

C.  72 degrees

D. 162 degrees

Sa susunod na leksyon ay tatalakayin naman natin ang tungkol sa complementary at supplementary angles, Pythagorean Theorem at kung paano ito magagamit sa paglutas ng mga tunay na  suliranin  na kinasasangkutan ng mga anggulo.

Mga Sagot sa Pagtatasa: