LESSON 3 – PYTHAGOREAN THEOREM
Sa unang dalawang leksyon ay napag-aralan natin ang tungkol sa mga uri ng linya at mga uri ng anggulo o salikop. Ngayon naman, nakatakda nating alamin ang Pythagorean Theorem at paano ito makatutulong upang lalo pa nating maunawaan ang Trigonometry.
Bago ito, alamin muna natin kung ano ang sinasabing complementary at supplementary angles.
Complementary angles = ang dalawang anggulo ay complementary kung ang suma o total ng kanilang mga angles ay 90 degrees (90o).
Ibig sabihin, ∠A + ∠B = 90o
If ∠XYZ = 36o and ∠ 345 = 54o, then we can say that ∠XYZ is a complement of ∠345 (and vice versa) because their sum is 90o. We can also say that because the sum of their angles is 90o, ∠XYZ and ∠345 are complementary angles.
Supplementary angles = ang dalawang anggulo ay supplementary kung ang suma o total ng kanilang mga angles ay 180 degrees (180o).
Ibig sabihin, ∠V + ∠W = 180o
If ∠DEF = 45o and ∠ 123 = 135o, then we can say that ∠DEF is a supplement of ∠123 (and vice versa) because their sum is 180o. We can also say that because the sum of their angles is 180o, ∠DEF and ∠123 are supplementary angles.
Base sa kanilang depinisyon, ang angle na mabubuo ng dalawang complementary angles ay right angle (dahil ang sukat nito ay 90 degrees). Straight angle naman ang mabubuo ng dalawang supplementary angles (dahil ang sukat nito ay 180 degrees).
PAGSASANAY
1. Give the complement of ∠ABC if its measure is 37o.
A. 153o
B. 143o
C. 53o
D. 43o
2. If two angles are right angles, then they are ___.
A. complementary
B. supplementary
C. straight angles
D. obtuse angles
3. Tukuyin ang mga complementary angles sa larawan:
A. ∠AXB at ∠BXD
B. ∠BXC at ∠CXD
C. ∠AXC at ∠CXD
D. ∠AXB at ∠BXC
4. Ano ang supplementary angle ng ∠AXB sa larawan?
A. ∠BXC only
B. ∠AXD only
C. Both ∠BXC at ∠AXD
D. ∠DXC
5. If ∠PUJ is 25o, then the measure of its supplement is ________?
A. 20o
B. 65o
C. 155o
D. 335o
Ang aralin sa Pythagorean Theorem ay mahalaga sapagkat ito ay magtuturo sa iyo kung paano malutas ang mga problema sa totoong buhay na may kinalaman sa mga anggulo. Ngunit kailangan mo munang magkaroon ng kaalaman tungkol sa square root ng isang numero upang maunawaan nang mabuti ang araling ito.
Ano ang SQUARE ROOT?
Sa Matematika, ang square root ay isang factor ng isang numero na, kapag minultiply sa kanyang sarili, ay nagbibigay ng orihinal na numero.
Halimbawa, ang 3 at –3 ay parehong factor ng 9. Kapag minultiply ang 3 sa kanyang sarili, 3 x 3 o 32, makukuha ang 9 dahil 3 x 3 = 9 o 32 = 9. Gayundin, kapag minultiply ang -3 sa kanyang sarili, (-3) x (-3) o (-32), makukuha ang 9 dahil (-3) x (-3) = 9 o (-32) = 9. Kung ganoon, masasabi na ang square root ng 9 ay 3 at (-3) [negative 9].
Sa iba pang paliwanag, ang square root ng isang bilang na kinakatawan ng x ay isang bilang na kinakatawan ng y tulad ng y² = x; sa madaling salita, ang bilang y ay ang square root ng x. Halimbawa, ang 5 at −5 ay square root ng 25, dahil 5² =(-5²)= 25.
Paano makukuha ang square root ng isang numero?
Isang paraan upang makuha ang square root ng isang bilang ay isipin lamang ang mga factors ng bilang na iyon. Kapag minultiply mo ng 2 beses ang factor na iyong napili at lumabas ang bilang na iyon, ang factor na iyong napili ay ang square root ng bilang na iyon.
Halimbawa:
Ano ang square root ng 64?
Step 1: Isulat ang mga factors ng 64.
Ano ang factors ng isang bilang?
Ang mga ito ay ang mga numero na kapag minultiply mo ay makukuha mo ang bilang na binanggit.
Ano –ano ang factors ng 64?
Ang mga factors ng 64 ay 1, 2, 4, 8, 16, 32, at 64 dahil:
1 x 64 = 64 2 x 32 = 64
4 x 16 = 64 8 x 8 = 64
Step 2: Piliin ang numero na inulit ng 2 beses para makuha ang 64.
Sa mga numerong nasa itaas, mapapansin na ang square root ng 64 ay 8 dahil 82 =64. Gayunman, malalaman din natin sa susunod na mga lesson na 2 ang square root ng isang bilang, isang positive at isang negative. Kaya, square root din ng 64 ang -8 (negative 8) dahil (-82) = 64.
Matapos nating malaman kung ano ang square root ng isang bilang at kung paano ito makukuha, handa na tayong pag-aralan ang Pythagorean Theorem. Pero bago ito, kilalanin muna natin si Pythagoras na siyang pinagmulan ng teoryang ito.
Sino si Pythagoras?
Si Pythagoras ng Samos (c. 570 - c. 495 BC) ay isang sinaunang pilosopong Greek na Ionian at ang eponymous na nagtatag ng Pythagoreanism. Ang kanyang mga katuruang pampulitika at pangrelihiyon ay kilalang kilala sa Magna Graecia at naiimpluwensyahan ang mga pilosopiya ni Plato, Aristotle, at, sa pamamagitan nila, pilosopiya sa Kanluranin. Ang kaalaman sa kanyang buhay ay nalilimutan ng alamat, ngunit lumilitaw na siya ay anak ni Mnesarchus, isang mang-uukit ng mutya sa isla ng Samos. (Wikipedia)
Ano ang Pythagorean Theorem o Pythagoras’ Theorem ?
Sa Matematika, ang teorya ng Pythagorean, o teorya ng Pythagoras, ay isang pangunahing kaugnayan sa Euclidean Geometry sa mga tatlong panig/gilid ng isang right triangle. Nakasaad dito na ang area ng parisukat na ang panig ay ang hypotenuse (ang gilid sa tapat ng right angle) ay katumbas ng kabuuan ng mga area ng mga parisukat sa iba pang dalawang panig. Ang teoryang ito ay maaaring nakasulat bilang isang equation na nauugnay sa haba ng mga gilid ng a, b at c, na madalas na tinatawag na Pythagorean equation:
a2 + b2 = c2
kung saan kumakatawan sa c ang haba ng hypotenuse at a at b ang haba ng iba pang dalawang panig/gilid ng tatsulok.
Upang maunawaan natin nang lubusan ang kahalagahan ng Pythagorean Theorem, magbigay tayo ng halimbawa sa tunay na buhay.
Masdan natin ang larawan sa ibaba:
Anong anggulo ang nabuo ng hagdan at ng lupa?
Kung ang sagot mo ay right angle, tama ka.
Ano ang distansya mula sa lupa hanggang sa tuktok ng slide (o haba ng hagdan)?
Kung ang sagot mo ay 3 units, magaling!
Gaano kalayo ang ibabang bahagi ng hagdan hanggang sa ibabang bahagi ng slide?
Tama ka kung 4 units ang iyong sagot.
Ngunit paano natin makalkula ang haba ng slide? Magagawa natin ito sa pamamagitan ng paggamit ng Pythagorean theorem base sa ibinigay na haba ng hagdan at ang distansya mula sa ibabang dulo ng slide hanggang sa ibabang dulo ng hagdan.
Sa ating aktibidad, ang hagdan at ang lupa ay bumuo ng isang right angle. Kaya, isang right triangle ay nabuo kasama ang slide.
Ang right triangle ay tatsulok na may right angle. Ang gilid na katapat ng right angle ay tinatawag na hypotenuse. Ang dalawang gilid naman ay tinatawag na legs.
Mapapansin sa larawan na ang pinakamahabang side o gilid ay ang hypotenuse.
Ang dalawang legs ay maaaring tawaging adjacent at opposite side depende kung anong anggulo ang pinagbabatayan. Ang opposite side ay katapat ng anggulong batayan. Adjacent side naman ang tawag sa gilid ng angle na binabanggit.
Tulad nang nabanggit sa itaas, upang makalkula ang haba ng isang gilid ng isang tatsulok, magagamit natin ang teorya ng Pythagorean na nagsasaad na:
Sa isang right triangle, ang square ng hypotenuse ay katumbas ng square ng isang gilid (opposite side) kasama ang square ng isa pang gilid (adjacent side).
Ang ibig sabihin ng square ng hypotenuse ay i-multiply ang sukat ng hypotenuse sa kanyang sarili.
Kung ang sukat ng hypotenuse ay kinakatawan ng titik c, ang square ng hypotenuse ay c x c or c2.
Gayundin ang paglalarawan nito sa dalawa pang gilid.
Square ng opposite side = a x a or a2
Square ng adjacent side = b x b or b2
Pagsamahin natin ang lahat ng mga gilid upang mabuo natin ang Pythaghorean formula:
c2 = a2 + b2 or a2 + b2 = c2
Balikan natin ang larawan sa itaas at kalkulahin natin ang sukat ng slide, gamit ang formula sa itaas.
I-presenta natin ang sukat ng hagdan bilang titik a, at tiktik b naman ang distanya mula sa ibaba ng hagdan hanggang ibaba ng slide. Ang sukat naman ng slide ay titik c.
Base sa larawan, lagyan natin ng value ang mga titik:
a = 3
b = 4
c = ?
Gamit ang formula sa ibaba, kalkulahin natin ang sukat ng slide:
c2 = a2 + b2
c2 = 32 + 42
c2 = 9 + 16
c2 = 25
c = 251/2 or √𝟐𝟓
c = 5 at (-5) [Disregard -5 because we are only interested in positive value]
c = 5 units final answer
Upang lubos na maunawaan pa ang tungkol sa Pythagorean Theorem, sasagutin natin sa susunod na leksyon ang ilang pagsasanay na problema na may kinalaman sa tunay na buhay na kinasasangkutan ng right triangles.
Dapat natin tandaan sa ngayon na ang Pythagorean Theorem ay akma lamang kung ang tatsulok o triangle ay right triangle. Hindi ito angkop sa iba pang uri ng tatsulok tulad ng isosceles, equilateral, scalene, obtuse, at acute triangle.
May iba pang mga paraan upang makuha ang square root ng isang bilang. Ito ay tatalakayin sa ibang leksyon.
Mga sagot sa pagsasanay:
1. C
2. B
3. B
4. C
5. C
