Lesson 2 – Linear Equations in One Variable
(Image from https://www.cmuse.org)
Simulan natin ang pag-aaral sa pamamagitan ng pag-alam sa mga konsepto ng mga sumusunod na termino:
1. Ang equality ay isang mathematical na pahayag kung saan ang dalawang expression ay pantay o may parehong value/halaga.
Kung gayon, ang 3x = 15 at 2y + 4y = 6y ay mga equation.
2. May dalawang uri ng equalities. Ang mga ito ay ang equations at identities.
3. Ang identity ay isang equality kung saan sa mga variable ay maaaring magkaroon ng anumang value at kung saan ang equality ay magiging tama sa lahat ng pagkakataon. Nangangahulugan ito na ang kaliwang bahagi ng isang equation ay palaging katumbas ng kanang bahagi kahit anong value/halaga ang ipinalit para sa variable.
Halimbawa, isaalang-alang natin ang ating equality sa itaas na:
2y + 4y = 6y
Kung ang value ng ating variable y ay 0 (zero), ang equation ay magiging ==>
2(0) + 4(0) = 6(0)
0 + 0 = 0
0 = 0
Kung ang y naman ay may value na 1, ang equation ay magiging ==>
2(1) + 4(1) = 6(1)
2 + 4 = 6
6 = 6
Mapapansin natin sa itaas na kahit ano ang value na ipalit natin sa ating variable, ang equation ay magiging tama o totoo.
4. Dahil walang mga paghihigpit o restrictions sa mga value na maaaring mayroon ang y, ang 2y + 4y = 6y ay isang halimbawa ng unconditional equality.
5. Sa kabilang banda, ang isang equation ay isang conditional equality kung ang variable/s nito ay may partikular o iisang value lamang.
6. Ang solution o root ng isang equation ay anumang numero na, kapag pinalitan ang variable, ay gagawing pantay ang dalawang panig ng isang equation. Masasabi na ang root ang siyang nagbigay tama sa isang equation.
Halimbawa, sa equation na 5x – 13 = -3x + 19
Kung 4 ang ipapalit natin sa x sa equation, ito ay magiging ==>
5(4) – 13 = -3(4) + 19
20 – 13 = -12 + 19
7 = 7
Samakatuwid, ang 7 ay solution o root ng equation.
Samantala, kung 2 ang ipapalit natin sa x sa equation, ito ay magiging ==>
5(2) – 13 = -3(2) + 19
10 – 13 = -6 + 19
-3 ≠ 13
Dahil ang -3 ay hindi katumbas ng 13, masasabi natin na ang 2 ay hindi isang solution o root ng equation.
7. Ang set ng lahat ng mga solution ng isang equation ay tinatawag na solution set. Upang malutas ang isang equation, nangangahulugang dapat nating hanapin ang solution set nito.
8. Ang linear equation ay isang equation na ang lahat ng term ay nasa first degree. Nangangahulugan ito na ang pinakamataas na exponent o kabuuan ng mga exponent ng alinman sa mga termino ng isang equation ay 1.
Ang graph ng isang linear equation ay straight line.
9. Ang linear equations ay maaaring uriin sa linear equations in one variable, linear equations in two variables, linear equations in three variables at iba pa.
10. Ang linear equations in a variable, x, ay maaaring isulat sa pormang
ax + b = 0 kung saan ang a ay hindi maaaring zero (0).
11. Ang equivalent equations ay algebraic equations na may magkaparehong solution sets o roots. Ang pag-add o pag-subtract ng parehong numero o expression sa pagkabilang panig ng equation ay magreresulta ng equivalent equations.
Halimbawa, sa equation na x – 2 = 8, ang ating makukuhang sagot ay:
x - 2 = 8
x = 8 + 2
x = 10
Sa parehong equation na x – 2 = 10,
kapag nagdagdag tayo ng 5 sa kaliwa at sa kanang panig ng equation, hindi pa rin magbabago ang equation. Subukin natin.
x – 2 + 5 = 8 + 5
x + 3 = 13
x = 10
Samakatuwid, ang x – 2 = 8 at x – 2 + 5 = 8 + 5 ay equivalent equations.
Tandaan lamang na kung ano ang ginawa sa kaliwang panig (left side) ay ganoon din ang gagawin sa kanang panig (right side) ng equation.
Hindi lamang addition at subtraction ang maaaring gawin sa magkabilang panig ng equation. Maaari ring gawin ang multiplication at division subalit ang numerong gagamitin ay dapat ay non-zero.
12. Ang proseso ng paglipat ng isang termino sa kabilang panig at pagbabago ng sign nito ay tinatawag na transposition.
Halimbawa:
- 4m = - 5m – 3
-4m + 5m = - 5m – 3 + 5m
m = 0 – 3
m = -3
Sa pagso-solve ng linear equation in one variable, pagsamahin o ilipat natin ang variable sa kaliwang panig ng equation at ang constant naman ay nasa kanang panig.
13. Ang literal equation ay isang equation kung saan ang ilan sa mga constant ay hindi tinukoy ngunit kinakatawan ng mga titik tulad ng a, b, c o d. Ang mga titik na ito ay tinatawag na literal constants o arbitrary constants.
Samakatuwid, ang 5x = Q ay isang halimbawa ng literal equation kung saan ang x ay isang variable at ang Q naman ay isang literal or arbitrary constant.
Narito ang ilan pang halimbawa ng literal equations:
A = πr2 (area of a circle)
P = 2L + 2W (perimeter of a rectangle)
C=5/9 (F −32) (Fahrenheit to Centigrade)
P = 4s (perimeter of square)
Mapapansin na ang mga equations sa itaas ay mga formulas. Ito ay dahil ang lahat ng formulas ay literal equations.
How to Solve Linear Equations in One Variable
Matapos nating mapag-aralan ang konsepto ng iba’t ibang termino, handa na tayong mag-solve ng linear equation na may isang variable. Paano natin ito gagawin?
Example A: Solve 5x – 7 + 4x = 2x – 28 + 4x.
Step 1 Gawing simple ang equation sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng magkaparehong terms.
5x – 7 + 4x = 2x – 28 + 4x ==>
9x – 7 = 6x - 28
Step 2 Ihiwalay ang variable at ilagay ito sa kaliwang panig at ang constant naman ay ilagay sa kanang bahagi gamit ang addition property of equality o sa pamamagitan ng transposition.
9x – 7 = 6x – 28
9x – 7 + 7 = 6x – 28 + 7
9x = 6x – 21
9x – 6x = 6x – 6x – 21
3x = -21
Step 3 Gamitin ang multiplication property of equality o i-divide ang dalawang panig ng numerical coefficient ng variable
Step 3 Ihalili ang nakuhang value ng variable sa orihinal na equation upang matiyak na tama ang nakuhang solution, root, o sagot.
x = - 7
5x – 7 + 4x = 2x – 28 + 4x
5(-7) – 7 + 4(-7) = 2(-7) – 28 + 4(-7)
-35 – 7 – 28 = -14 – 28 -28
-70 = - 70
Samakatuwid, x = - 7 ay ang solution o root ng 5x – 7 + 4x = 2x – 28 + 4x dahil natugunan nito ang equation.
Example B: Solve 3(x –2) + 6 = 5x + 2.
Step 1 Gamitin ang multiplication property over addition upang maalis ang mga parentheses.
3(x –2) + 6 = 5x + 2 ==>
3x – 3(2) + 6 = 5x + 2
3x – 6 + 6 = 5x + 2
3x + 0 = 5x + 2
3x = 5x + 2
Step 2 Ihiwalay ang variable at ilagay ito sa kaliwang panig at ang constant naman ay ilagay sa kanang bahagi gamit ang addition property of equality o sa pamamagitan ng transposition.
3x = 5x + 2
3x – 5x = 5x – 5x + 2
-2x = 2
Step 3 I-multiply ang magkabilang panig ng multiplicative inverse ng –2, iyan ay −1/2.
-2x = 2
−1/2 (−2𝑥) = −1/2 (2)
x = -1
Step 4 Ihalili ang nakuhang value ng variable sa orihinal na equation upang matiyak na tama ang nakuhang solution, root, o sagot.
x = - 1
3(x –2) + 6 = 5x + 2
3(-1 – 2) + 6 = 5(-1) + 2
3(-3) + 6 = - 5 + 2
- 9 + 6 = -3
-3 = - 3
Samakatuwid, x = - 1 ay ang solution o root ng 3(x –2) + 6 = 5x + 2 dahil natugunan nito ang equation.
Example C: Solve 5(y + 3) - 4 = 5y - 8.
Step 1 Gamitin ang multiplication property over addition o distributive property upang maalis ang mga parentheses.
5(y + 3) - 4 = 5y - 8 ==>
5(y) + 5(3) – 4 = 5y – 8
5y + 15 – 4 = 5y – 8
Step 2 Gawing simple ang equation sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng magkaparehong terms.
5y + 15 – 4 = 5y – 8
5y + 11 = 5y - 8
Step 3 Ihiwalay ang variable at ilagay ito sa kaliwang panig at ang constant naman ay ilagay sa kanang bahagi gamit ang addition property of equality o sa pamamagitan ng transposition.
5y + 11 = 5y - 8
5y – 5y + 11 = 5y – 5y – 8
11 = 8 ?
Samakatuwid, dahil ang 11 ay hindi maaaring equal sa 8, ang equation na
5(y + 3) - 4 = 5y - 8 ay no solution (walang solution).
Matuto Tayo
Upang malutas ang mga equation na kinasasangkutan ng mga fraction na walang mga variable sa denominator, maaari tayong magsimula sa pamamagitan ng paggamit ng multiplication property of equality upang mawala ang mga fractions sa equation. Maaari nating gamitin ang anumang common multiple tulad ng least common multiple (LCM) ng lahat ng denominator sa equation. (Ang LCM ng 2 o higit pang bilang ay ang pinakamaliit na numero na multiple o factor ng mga bilang na ito). Ang LCM ay tatawagin na natin ngayong least common denominator (LCD).
Upang matutunan ito, unawain natin ang mga sumusunod na halimbawa.
Example 1 
Step 1 I-multiply ang magkabilang panig ng LCD, 8, upang mawala ang mga fractions sa equation.
Step 2 Ihiwalay ang variable at ilagay ito sa kaliwang panig at ang constant naman ay ilagay sa kanang bahagi gamit ang addition property of equality o sa pamamagitan ng transposition.
6x + 16 = 3x – 32
6x – 3x + 16 – 16 = 3x – 3x – 32 – 16
3x + 0 = 0 - 48
3x = - 48
Step 3 I-multiply ang magkabilang panig ng multiplicative inverse ng 3, iyan ay 1/3.
3x = - 48
1/3(3𝑥 = −48)
3𝑥/3 = −48/3
x = - 16
Step 4 Ihalili ang nakuhang value ng variable sa orihinal na equation upang matiyak na tama ang nakuhang solution, root, o sagot.
Samakatuwid, x = - 16 ay ang solution o root ng 3/4 𝑥 + 2 = 3/8𝑥 −4 dahil natugunan nito ang equation.
Example 2
Step 1 I-multiply ang magkabilang panig ng LCD, 3x, upang mawala ang mga fractions sa equation.
Step 2 Ihiwalay ang variable at ilagay ito sa kaliwang panig at ang constant naman ay ilagay sa kanang bahagi gamit ang addition property of equality o sa pamamagitan ng transposition.
2x - 6 = 12
2x - 6 + 6 = 12 + 6
2x = 18
Step 3 I-multiply ang magkabilang panig ng multiplicative inverse ng 2, iyan ay 1/2.
2x = 18
1/2(2𝑥 = 18)
2𝑥/2 = 18/2
x = 9
Step 4 Ihalili ang nakuhang value ng variable sa orihinal na equation upang matiyak na tama ang nakuhang solution, root, o sagot.
x = 9
2/3 − 2/𝑥 = 4/𝑥
2/3 − 2/9 = 4/9
Step 5 I-multiply ang magkabilang panig ng LCD, 9, upang mawala ang fractions.
9(2/3 − 2/9 = 4/9)
18/3 −18/9 = 36/9
6 – 2 = 4
4 = 4
Samakatuwid, x = 9 ay ang solution o root ng 2/3 −2/𝑥=4/𝑥 dahil natugunan nito ang equation.
Example 3
Step 1 Ihiwalay ang constant sa kaliwang panig at ilagay ito sa kanang bahagi gamit ang addition property of equality o sa pamamagitan ng transposition.
Step 2 Gamitin ang cross multiplication. I-multiply ang numerator ng kanang panig sa denominator ng kaliwang panig at numerator ng kaliwang panig sa denominator ng kanang panig.
Step 3 Ilipat sa kanang panig ang constant sa kaliwang panig sa pamamagitan ng transposition.
2y + 5 = 9
2y + 5 – 5 = 9 – 5
2y = 4
Step 4 I-multiply ang magkabilang panig ng multiplicative inverse ng 2, iyan ay 1/2.
2y = 4
1/2(2𝑦) = 1/2(4)
2𝑦/2 = 4/2
y = 2
Step 5 Ihalili ang nakuhang value ng variable sa orihinal na equation upang matiyak na tama ang nakuhang solution, root, o sagot.
Samakatuwid, y = 2 ay ang solution o root ng 3/(2𝑦+5 )+2/3=1 dahil natugunan nito ang equation.
Summary
• A solution or root of an equation is any number that, when substituted for the variable, makes both sides of the equation equal.
• The set of all solutions is called the solution set.
• We say that two equations are equivalent if they both have the same solution set—any solution of one is also a solution of the other.
• A linear equation is an equation of the first degree in any number of variables.
• Linear equations in a variable, x, can be written in the form ax + b = 0 where a ≠ 0.
• The process of moving a term to the other side of an equation and changing its sign is called transposition.
• A literal equation is an equation in which some of the constants are not specified but are represented by letters such as a, b, c or d.
• Formulas are literal equations.
