Lesson 3 – Linear Equations In Two Variables
Sa nakaraang aralin ay nalaman natin ang mga konsepto at terminong karaniwang ginagamit sa Algebra. Natuto tayong mag-solve ng linear equation na may iisang variable o unknown.
Sa araling ito ay pagtutuunan naman natin ang pagresolba ng linear equations na may dalawang variables o unknowns.
MATUTO TAYO
Ang isang equation tulad ng 4x + 5 = 21 ay may isang value, 4, bilang solusyon nito. Ang isang equation na may dalawang variable tulad ng y = 2x + 1 ay may maraming solusyon na maaari nating isulat bilang ordered pairs ng mga numero.
Para sa isang equation tulad ng y = 2x + 1, isinusulat natin ang ordered pairs sa ganitong anyo, (x, y).
Halimbawa 1
Determine whether (3, 7) is a solution of y = 3x - 2. (Tukuyin kung ang (3,7) ay isang solusyon ng y = 3x – 2)
Para gawin ito, ihalili lamang ang ordered pair (x, y) ==> (3,7) sa equation, tulad nito:
y = 3x – 2
7 ≟ 3(3) – 2
7 ≟ 9 – 2
7 = 7
Samakatuwid, ang equation ay tama. Ang ordered pair na (3,7) ay isang solution ng y = 3x -2.
We can find solutions to equations in two variables by choosing a value for one variable, substituting it, and computing the equation to find the value of the other variable. (Maaari tayong makahanap ng mga solusyon sa mga equation na may dalawang variables/unknowns sa pamamagitan ng pagpili o paglapat ng isang value sa isang variable, ihalili ito at i-compute ang equation upang mahanap ang value ng ikalawang variable/unknown.)
Halimbawa 2
Find 3 solutions for the equation 3x + y = 9.
Mas madaling masasagot ang problema kung kukunin muna natin ang value ng y. Gamit ang transposition, ang ating equation na 3x + y = 9 ay magiging ==>
y = -3x + 9
Ngayon, maaari na tayong maghalili ng value ng x upang makuha ang value ng y.
Kung ang value ng x ay zero (0), ang value ng y ay:
y = -3(0) + 9
y = -3 + 9
y = 6
Kung gayon, ang ordered pair na (0,6) ay isang solution ng equation.
Kapag pinili natin ang 2 bilang value ng x, ang value ng y ay magiging:
y = -3(2) + 9
y = -6 + 9
y = 3
Ang ikalawang solution ng ating equation ay ang ordered pair na (2,3).
Ngayon, ihalili naman natin ang –1 bilang x.
y = -3(-1) + 9
y = 3 + 9
y = 12
Ang ating ikatlong solution ay (-1, 12).
P’wede nating itala sa isang table/talahanayan ang mga ordered pairs upang madaling makita ang ilang solutions sa ating equation na 3x + y = 9.
Alam na natin ngayon na ang solution ng isang linear equation na may 2 variables ay isang ordered pair ng mga numero. Ang mga ordered pairs na ito ay maaaring i-graph sa isang coordinate plane. Ang graph ng isang equation ay isang drowing na kumakatawan sa mga solutions nito.
Halimbawa 3
Graph the equation 4x = 8 – 2y.
Bago nating mai-graph ang equation, hanapin muna natin ang mga solutions o ordered pairs nito.
Step 1 Gawing simple ang equation (ayon sa natutunan natin sa lesson 2).
4x = 8 – 2y
2y = - 4x + 8
2y/2 = -4x/2 + 8/2
y = -2x + 4
Step 2 Maghalili ng value ng x para makuha ang value ng y.
y = -2x + 4
Kung ang x = 0, y = -2(0) + 4 = 0 + 4 = 4
x = -1 y = -2(-1) + 4 = 2 + 4 = 6
x = -2 y = -2(-2) + 4 = 4 + 4 = 8
x = 2 y = -2(2) + 4 = -4 + 4 = 0
x = 4 y = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4
Step 3 Ilagay sa table o talahanayan ang mga values.
Step 4 I-plot ang mga points na (0, 4), (-1, 6), (-2, 8), (2, 0), at (4, -4) sa coordinate plane.
Mapapansin sa graph na ang lahat ng points o ordered pairs ay nakalapat sa isang straight line. Kung magpa-plot pa tayo ng iba pang solutions, ang mga ito ay lalapat din sa nasabing tuwid na linya. Ang linya ay ang graph ng ating equation na 4x = 8 – 2y. Ang lahat ng points sa linya ay solusyon sa equation na ito.
Matuto Tayo
Sa pag-graph ng mga linear na equation, maaaring tumawid ang isang tuwid na linya sa x-axis sa ilang points at maaari ring tumawid sa y-axis sa iba pang mga points. Ang mga points na ito ay tinatawag na mga intercept ng isang graph.
Ang x-intercept ay ang x-coordinate (value ng x) ng point kung saan tumatawid ang isang graph sa x-axis. Ang y- intercept, sa kabilang banda, ay ang y-coordinate (value ng y) ng point kung saan ang isang graph ay tumatawid sa y-axis.
Ang bawat point sa x-axis ay may y-coordinate na zero at ang bawat point sa
y-axis ay may x-coordinate na zero. Kapag pinagsama ang mga obserbasyon na ito kasama ang ideya ng mga intercept, maaari nating ibuod ang mga sumusunod:
1. Ang x-intercept ng isang graph ay ang x-coordinate ng punto na may y-coordinate na zero (0).
2. Ang y-intercept ng isang graph ay ang y-coordinate ng punto na may x-coordinate na zero (0).
Sa madaling salita, upang mahanap ang x-intercept ng graph ng isang equation, dapat nating hayaan ang y = 0 sa equation.
Upang mahanap ang y-intercept, dapat nating hayaan ang x = 0 sa equation.
Kapag naghahanap ng mga intercept, hindi kinakailangang ihiwalay ang alinmang variable.
Halimbawa 4
Find the x-intercept and the y-intercept of the line for the equation 2x + y = 1.
Kapag ang x = 0, ang y ay:
2(0) + y = 1
0 + y = 1
y = 1
Samakatuwid, ang y-intercept ay 1.
Kapag ang y = 0, ang x ay:
2x + 0 = 1
2x = 1
x = ½
Samakatuwid ang x-intercept ay ½.
Ang graph ng mga puntos na (0, 1) at (1/2, 0) ay makikita sa ibaba:
Halimbawa 5
Graph the equation x – y = 0.
Step 1 Hanapin ang x at y-intercept ng equation.
Kapag ang x = 0, ang y ay:
0 – y = 0
y = 0
Samakatuwid, ang y-intercept ay 0.
Kapag ang y = 0, ang x ay:
x – 0 = 0
x = 0
Samakatuwid, ang x-intercept ay 0 rin.
Anong nangyari? Mukhang magkakaproblema tayo dito dahil ang x-intercept at y-intercept ay parehong zero (0) o nasa origin. Kapag nangyari ito, kailangan nating maghanap ng isa pang point sa graph sa pamamagitan ng pagpili ng arbitrary o pansamanalang x-value at hanapin ang katumbas na y-value nito.
Ang una nating solution o point ay (0,0). Humanap pa tayo ng isa pang point.
Sa ating equation na x – y = 0, kung x = 2, ang y ay magiging:
2 – y = 0
-y = -2
y = 2.
Ang ating ikalawang puntos ay (2,2).
Ang graph ng mga puntos na (0, 0) at (2, 2) ay makikita sa ibaba:
Summary
• A solution of an equation with two variables is an ordered pair of numbers that can be plotted on a coordinate plane.
• A graph of an equation is a drawing that represents its solutions.
• The intercepts of a graph are the points where a straight line crosses the x- and y-axes.
• The x-intercept is the x-coordinate of the point at which a graph crosses the x-axis.
• The y-intercept is the y-coordinate of the point at which a graph crosses the y-axis.
• In the formula, y = mx + b, m is the slope of the line while b is the coefficient of y.
• To graph a linear equation of the form ax + by = c using the intercept method, we follow these steps:
1. Find the x-intercept by letting y = 0 in the original equation.
2. Find the y-intercept by letting x = 0 in the original equation.
3. Write the ordered pair corresponding to each intercept.
4. Plot the intercept points and connect them with a straight line.
• The equations for most lines may be given by the slope-intercept form
y = mx + b.
Note that m is the slope of the line. The arbitrary constant, b, is the y-intercept.
Without drawing a graph of the equation, determine the slope and y-intercept of the equation y = 2x + 5.
The coefficient of x is 2 and the constant term is 5. Thus m = 2 and b = 5.
Pagsasanay
1. Determine whether (2, -1) is a solution of y - 4 = 5(x – 3).
2. What are the coordinates of the point where the graph of the equation
2x + 3y = 3 crosses the y-axis?
3. What are the coordinates of the point where the graph of the equation
y = -3x – 4 crosses the x-axis?
4. Find the intercepts of the equation 3y = 5x, then draw its graph.
5. Write in slope-intercept form if the slope is ¾ and the y-intercept is – ½.
For the answers, please CLICK this link: ANSWERS to Exercises: Lesson 3 - Linear Equations In Two Variables
