Part 3 – Solving System of Linear Equations by Elimination
Sa nakaraang dalawang aralin ay napag-aralan natin kunin ang solution set ng ating simultaneous equations sa pamamagitan ng pag-plot ng graph ng mga ito at gamit ang substitution method. Sa leksyong ito, aalamin naman natin kung paano kunin ang solution set ng ating linear equations in two variables gamit ang elimination method.
MATUTO TAYO
Ang layunin ng elimination method ay alisin ang isa sa mga variable. Sa pamamaraang ito, dalawa ang ating istratehiya. Maaari nating i-add ang dalawang equations o ibawas/ i-subtract ang isang equation mula sa isa pa.
ADDING TWO EQUATIONS
Sinasabing mas madali ang elimination method sa pamamagitan ng pagdaragdag (addition) ng isang equation sa isa pang equation.
Halimbawa 1
Solve the following using the elimination method:
x – y = -6 (Equation 1)
x + y = 8 (Equation 2)
1. I-add o idagdag ang kaukulang panig ng dalawang equation upang maalis ang y.
x – y = -6
+ x + y = 8
2x + 0 = 2
2x = 2
2x/2 = 2/2
x = 1
2. I- substitute o ihalili ang 1 para sa value ng x sa Equation 1 (o Equation 2) upang mahanap ang value ng y.
Kung sa Equation 1:
x – y = -6
1 – y = -6
- y = -7
-1(-y = - 7)
y = 7
3. Suriin natin kung ang (1, 7) ay tumpak sa dalawang equation.
Para sa Equation 1:
x – y = -6
1 – 7 ≟ -6
7 = 7
Para sa Equation 2:
x + y = 8
1 + 7 ≟ 8
8 = 8
Dahil tumpak ang nakuha nating equality sa dalawang equation, samakatuwid, ang ating nakuhang solution set na (1, 7) ay tama.
Subtracting Two Equations
May mga pagkakataon na nagiging mas kumplikado pa ang ating nakukuhang equation kapag pinag-add natin ang ating dalawang equations. Maraming sistema ang mahahanapan ng solusyon sa pamamagitan ng pagbabawas (subtraction) ng isang equation mula sa isa pang equation.
Halimbawa 2
Solve the following system by elimination:
4x + 2y = 14 (Equation 1)
5x + 2y = 16 (Equation 2)
Pansinin ang Equation 1 at 2. Makikita na hindi natin maaalis ang alinmang variable kapag ginamit natin ang elimination by addition. Sa ganitong pagkakataon, ang pagbabawas ng isang equation sa isa pa ang mas madaling option.
Ang tanong, aling equation ang ibabawas natin sa isa pa?
Pansinin ang mga coefficient ng dalawang equations. Kung anong equation ang may mas mababang coefficient, iyon ang ibabawas natin sa equation na may mas malalaking coefficient.
Pero ano nga ba ang coefficient?
Ito ay ang bilang/numero bago ang x o y.
Sa Equation 1 na 4x + 2y = 14, ang coefficient ng x ay 4 at ang coefficient ng y ay 2. Sa Equation 2 na 5x + 2y = 16, ang coefficient ng x ay 5 at ang coefficient ng y ay 2.
Maaari namang hindi na pag-ukulan pa ng pansin ang mga coefficients ng dalawang equations. Kahit alin ay p’wedeng ibawas sa isa pa. Gayunman, maging maingat lang sa pagpapalit ng signs ng mga ito dahil kapag namali, mali rin ang makukuhang value.
Sa itaas, napagpasyahan nating ibawas ang Equation 1 dahil mas mababa ang coefficient ng x nito kumpara sa coefficient ng x ng Equation 2.
5x + 2y = 16 (Equation 2)
- (4x + 2y = 14) (Equation 1)
x + 0 = 2
x = 2
Tandaan na ang buong equation ng isa ang ibinabawas natin mula sa isa pang equation. Dagdag pa, nababago ang signs ng mga terms.
Ihalili natin ang 2 sa x sa Equation 1 (o Equation 2) para makuha natin ang value ng y.
Kung sa Equation 2:
5x + 2y = 16
5(2) + 2y = 16
10 + 2y = 16
2y = 6
2y/2 = 6/2
y = 3
Ihalili natin ang (2, 3) sa Equation 1 at Equation 2 para matiyak kung tama ang ating solution set.
Para sa Equation 1:
4x + 2y = 14
4(2) + 2(3) ≟ 14
8 + 6 ≟ 14
14 = 14
Para sa Equation 2:
5x + 2y = 16
5(2) + 2(3) ≟ 16
10 + 6 ≟ 16
16 = 16
Dahil tama ang nakuha nating equality sa ating simultaneous equations, nangangahulugan ito na ang ating nakuhang solution set na (2, 3) ay tumpak.
Pareho pa rin kaya ang ating solution set kung basta na lamang natin ibinawas ang Equation 2 sa Equation 1? Tingnan natin.
4x + 2y = 14 (Equation 1)
- (5x + 2y = 16) (Equation 2)
-x + 0 = -2
-1(-x = -2)
x = 2
Ihalili natin ang 2 sa x sa Equation 1 (o Equation 2) para makuha natin ang value ng y.
Kung sa Equation 1:
4x + 2y = 14
4(2) + 2y = 14
8 + 2y = 14
2y = 6
2y/2 = 6/2
y = 3
Ihalili natin ang (2, 3) Equation 1 at Equation 2 para matiyak kung tama ang ating solution set.
Para sa Equation 1:
4x + 2y = 14
4(2) + 2(3) ≟ 14
8 + 6 ≟ 14
14 = 14
Para sa Equation 2:
5x + 2y = 16
5(2) + 2(3) ≟ 16
10 + 6 ≟ 16
16 = 16
Mapapansin na tama pa rin ang nakuha nating solution set na (2, 3) sa ating simultaneous equations kahit na direkta nating ibinawas ang isang equation mula sa isa pang equation na hindi isinasaalang-alang ang kani-kanilang coefficients.
Dahil dito, nasasainyo na ang pumili ng pamamaraan na mas madali para sa inyo.
Multiplying by a Constant
May mga pagkakataon na hindi natin direktang maidaragdag o maibabawas ang isang equation sa isa pa upang mawala ang isang variable o unknown. Magkaminsan, kailangan nating mag-multiply ng isang constant (positive o negative) upang ang coefficient ng x o y ng isang equation ay maging katulad o kapareho ng coefficient ng x o y ng isa pang equation. Nararapat ito nang sa gayon ay maisagawa natin ang elimination by addition o subtraction.
Halimbawa 3
Solve the following system by elimination:
3x + 4y = 52 (Equation 1)
5x + y = 30 (Equation 2)
Pansinin ang Equation 1 at 2. Makikita na magkaiba ang coefficient ng x at y ng dalawang equation. Dahil dito, hindi natin magagamit nang direkta ang elimination by addition o subtraction.
Kailangan nating mag-multiply ng isang constant upang magkaroon ng magkaparehong coefficient ang ating sistema.
3x + 4y = 52 (Equation 1)
5x + y = 30 (Equation 2)
Anong constant ang ating imu-multiply sa isang equation upang maging kapareho nito ang coefficient ng isang variable ng isa pang equation?
Kung imu-multiply natin sa -4 ang Equation 2, magiging pareho na ang coefficient na x nito sa Equation 1. Subukin natin.
-4 (5x + y = 30)
-20x – 4y = - 120 (Equation 2a)
I-add natin ang Equation 2a sa Equation 1.
3x + 4y = 52 (Equation 1)
+ -20x -4y = -120 (Equation 2a)
-17x + 0 = -68
-17x = -68
- 17x/-17 = -68/-17
x = 4
Ihalili natin ang 4 sa x sa Equation 1 (o Equation 2) upang mahanap natin ang value ng y.
Para sa Equation 1:
3x + 4y = 52
3(4) + 4y = 52
12 + 4y = 52
4y = 40
4y/4 = 40/4
y = 10
Upang matiyak na tama ang ating solution set na (4, 10), ihalili natin ang mga value na ito sa Equation 1 at Equation 2.
Para sa Equation 1:
3x + 4y = 52
3(4) + 4(10) ≟ 52
12 + 40 ≟ 52
52 = 52
Para sa Equation 2:
5x + y = 30
5(4) + 10 ≟ 30
20 + 10 ≟ 30
30 = 30
Dahil tama ang nakuha nating equality sa ating simultaneous equations, nangangahulugan ito na ang ating nakuhang solution set na (4, 10) ay tumpak.
Summary
To solve a system of linear equations in two variables by elimination, follow these steps: (Upang malutas ang system of linear equations na may dalawang variables o unknowns sa pamamagitan ng elimination, sundin ang mga hakbang na ito:)
1. Arrange the two given equations in standard form, that is, ax + by = c, where a, b and c are constants.
( Ayusin ang dalawang ibinigay na equation sa karaniwang anyo, iyon ay, ax + by = c, kung saan ang
a, b at c ay mga constants.)
2. Reduce the two equations in two variables to a single equation in one variable. (Gawing isang equation na may isang variable/unknown ang dalawang equations na may dalawang variables/unknowns.)
a. If both equations have a variable with the same numerical coefficient, eliminate it by: (Kung ang dalawang equations ay may isang variable/unknown (x o y) na may parehong coefficient, alisin ito sa pamamagitan ng:)
(1) adding the two equations if their coefficients have opposite signs; or [pag-add o pagdaragdag ng dalawang equation kung ang kanilang mga coefficient ay may magkasalungat na mga signs (positive at negative); o]
(2) subtracting the two equations if their coefficients have the same sign. (pagbabawas ng dalawang equation kung ang kanilang mga coefficients ay pareho ang mga signs (parehong positive o parehong negative).
b. When neither variable has the same numerical coefficient, multiply one or both of the given equations by numbers which will make the numerical coefficients of one of the variables the same in both equations and proceed as in Step a. (Kapag walang parehong numerical coefficient ang alinman sa variable, i-multiply ang isa o parehong equation sa numero o mga numero para gawing magkapareho ang mga numerical coefficient ng isa sa mga variable sa parehong equation at magpatuloy tulad ng sa Hakbang a.)
3. Solve for the value of the remaining variable. (Kunin ang value ng natitirang variable/unknown.)
4. Substitute this value to any of the given equations to find the value of the remaining variable. (Ihalili ang nakuha value sa alinman sa dalawang equations upang mahanap ang isa pang variable/unknown.)
5. The resulting number pair is the solution set. (Ang makukuhang ordered pairs (x, y) ang solution set ng simultaneous equations.)
6. Check the values by substituting them to the given equations. (Suriin ang mga values sa pamamagitan ng paghalili ng mga ito sa dalawang equations.)
Ang mga equations sa ilang sistema ay maaaring maglaman ng mga fraction o mga simbolo ng pagpapangkat. Upang makatulong na malutas ang mga ito dapat mo munang gawing simple o iayos ang mga ito sa karaniwang anyo, ax + by = c. Pagkatapos ay maaari mo nang lutasin ang sistema sa pamamagitan ng simpleng pagdaragdag o pagbabawas.
Halimbawa 4
Solve −𝟏/𝟏𝟎𝒙 + 𝟏/𝟐𝒚 = 𝟒/𝟓 (Equation 1)
𝟏/𝟕𝒙 + 𝟏/𝟑𝒚 = −𝟐/𝟐𝟏 (Equation 2)
Step 1: The equations should be cleared of fractions first.
Simplify Equation 1:
−𝟏/𝟏𝟎𝒙 + 𝟏/𝟐𝒚 = 𝟒/𝟓
a. Multiply the equation with the LCM of the denominators or the LCD of the fractions, which is 10.
10 (−1/10𝑥 + 1/2𝑦 = 4/5)
−10/10𝑥 + 10/2𝑦 = 40/5
-x + 5y = 8 (Equation 3)
Simplify Equation 2:
𝟏/𝟕𝒙 + 𝟏/𝟑𝒚 = −𝟐/𝟐𝟏
a. Multiply the equation with the LCM of the denominators or the LCD of the fractions, which is 21.
21 (1/7𝑥 + 1/3𝑦 = −2)/21
21/7𝑥 + 21/3𝑦 = −42/21
3x + 7y = -2 (Equation 4)
Our new equations in standard form==> ax + by = c
-x + 5y = 8 (Equation 3)
3x + 7y = -2 (Equation 4)
Step 2: Since there is no same coefficient in both equations, we need to multiply Equation 3 by 3 so that we can solve this system by elimination.
3(-x + 5y = 8)
-3x + 15y = 24 (Equation 3a)
Step 3. Add Equation 3a and Equation 4.
-3x + 15y = 24 (Equation 3a)
+ 3x + 7y = -2 (Equation 4)
22y = 22
22y/22 = 22/22
y = 1
Step 4: Substitute the value of y which is 1 into Equation 3 or 4 to find the value of x.
For Equation 4:
3x + 7y = -2
3x + 7(1) = -2
3x + 7 = -2
3x = -9
3x/3 = -9/3
x = -3
Step 5. Check if the solution set (-3, 1) is correct by substituting it for the original equations (Equation 1 and Equation 2).
For Equation 1:
−𝟏/𝟏𝟎𝒙 + 𝟏/𝟐𝒚 = 𝟒/𝟓
−1/10(−𝟑) + 1/2(𝟏) = 4/5
3/10 + 1/2 = 4/5
10(3/10 + 1/2 = 4/5)
30/10 + 10/2 = 40/5
3 + 5 = 8
8 = 8
For Equation 2:
𝟏/𝟕𝒙 + 𝟏/𝟑𝒚 = −𝟐/𝟐𝟏
1/7(−𝟑) + 1/3(𝟏) = −2/21
−𝟑/𝟕 + 𝟏/𝟑 = −𝟐/𝟐𝟏
𝟐𝟏(−𝟑/𝟕 + 𝟏/𝟑 = −𝟐/𝟐𝟏)
−𝟔𝟑/𝟕 + 𝟐𝟏/𝟑 = −𝟒𝟐/𝟐𝟏
-9 + 7 = - 2
-2 = -2
Since we got two equalities, thus (-3, 1) is the solution set of our system of linear equations.
Pagsasanay
Solve the following system of linear equations or simultaneous equations by elimination and check your answers:
1. 5x + 3y = 17
x + 3y = 1
2. 5x - 3y = 19
2x - 4y = 16
3. 𝑥/2+𝑦/8=4
𝑥/3 −𝑦/2=−2
ANSWERS:
Mga Sagot sa Pagsasanay
Solve the following system of linear equations or simultaneous equations by elimination and check your answers:
1. 5x + 3y = 17 (Equation 1)
x + 3y = 1 (Equation 2)
Elimination by subtraction:
5x + 3y = 17
- (x + 3y = 1)
4x + 0 = 16
4x = 16
4x/4 = 16/4
x = 4
Substitute 4 for x into Equation 1 or 2 to find the value of y.
For Equation 2:
x + 3y = 1
4 + 3y = 1
3y = -3
3y/3 = -3/3
y = -1
Check if (4, -1) is the solution set of the system:
For Equation 1:
5x + 3y = 17
5(4) + 3(-1) ≟ 17
20 – 3 ≟ 17
17 = 17
For Equation 2:
x + 3y = 1
4 + 3(-1) ≟ 1
4 – 3 ≟ 1
1 = 1
Thus, (4, -1) is the solution set of the system.
2. 5x - 3y = 19 (Equation 1)
2x - 4y = 16 (Equation 2)
Since there is no similar coefficient in the system, we cannot eliminate one variable by addition or subtraction right away. We need to multiply a constant to one of the equations or both to produce similar coefficients.
Multiply Equation 1 by 4:
4 (5x – 3y = 19)
20x – 12y = 76 (Equation 3)
Multiply Equation 2 by -3:
-3 (2x – 4y = 16)
-6x + 12y = -48 (Equation 4)
Add Equation 3 and Equation 4:
20x – 12y = 76 (Equation 3)
+ -6x + 12y = -48 (Equation 4)
14x + 0 = 28
14x = 28
14x/14 = 28/14
x = 2
Substitute 2 for x in either Equation 3 or 4 to find the value of y.
For Equation 4:
-6x + 12y = -48
-6(2) + 12y = -48
-12 + 12y = -48
12y = -36
12y/12 = -36/12
y = -3
Check if (2, -3) is the solution set of the system by substituting it into the original Equation 1 and Equation 2:
For Equation 1:
5x – 3y = 19
5(2) – 3(-3) ≟ 19
10 + 9 ≟ 19
19 = 19
For Equation 2:
2x – 4y = 16
2(2) – 4(-3) ≟ 16
4 + 12 ≟ 16
16 = 16
Since our two equations produced equality, therefore, (2, -3) is their solution set.
3. 𝑥/2 + 𝑦/8 = 4 (Equation 1)
𝑥/3 − 𝑦/2 = −2 (Equation 2)
Step 1: Transform the equations into the standard form ==> ax + by = c.
This can be done by multiplying the equations with the LCM or the LCD.
For Equation 1:
x/2 + 𝑦/8 = 4
8(𝑥/2 + 𝑦/8 = 4)
8𝑥/2 + 8𝑦/8 = 32
4x + y = 32 (Equation 3)
For Equation 2:
x/𝟑 − 𝒚/𝟐 = −𝟐
6(x/3 −y/2 = −2)
6x/𝟑−𝟔𝒚/𝟐 = −𝟏𝟐
2x – 3y = -12 (Equation 4)
Our new equations:
4x + y = 32 (Equation 3)
2x – 3y = -12 (Equation 4)
From Equation 3:
4x + y = 32
y = -4x + 32
Substitute -4x + 32 as the value of y into Equation 4 to find the value of x.
2x – 3y = -12
2x – 3(-4x + 32) = -12
2x + 12x – 96 = -12
14x = 84
14x/14 = 84/14
x = 6
Substitute 6 as the value of x into Equation 3 to find the value of y.
For Equation 3:
4x + y = 32
4(6) + y = 32
24 + y = 32
y = 8
Check if (6, 8) is the solution set of the system by substituting it into the original Equation 1 and Equation 2:
For Equation 1:
𝑥/2 + 𝑦/8 = 4
𝟔/𝟐 +𝟖/𝟖 ≟ 𝟒
3 + 1 ≟ 4
4 = 4
For Equation 2:
𝑥/3 − 𝑦/2 = −2
6/3 − 8/2 ≟ -2
2 - 4 ≟ -2
-2 = -2
Since our two equations produced equality, therefore, (6, 8) is their solution set.
No comments:
Post a Comment