Lesson 4 - Systems of Linear Equations: Solving by Elimination

Part 3 – Solving System of Linear Equations by Elimination

        Sa nakaraang dalawang aralin ay napag-aralan natin kunin ang solution set ng ating simultaneous equations sa pamamagitan ng pag-plot ng graph ng mga ito at gamit ang  substitution method. Sa leksyong ito, aalamin naman natin kung paano kunin ang solution set ng ating linear equations in two variables gamit ang elimination method.

MATUTO TAYO

        Ang layunin ng elimination method ay alisin ang isa sa mga variable. Sa pamamaraang ito, dalawa ang ating istratehiya. Maaari nating i-add ang dalawang equations o ibawas/ i-subtract ang isang equation mula sa isa pa.

ADDING TWO EQUATIONS

Sinasabing mas madali ang elimination method sa pamamagitan ng pagdaragdag (addition) ng isang equation sa isa pang equation.

Halimbawa 1

Solve the following using the elimination method:

x – y = -6 (Equation 1)

x + y =  8 (Equation 2)

1. I-add o idagdag ang kaukulang panig ng dalawang equation upang maalis ang y.

        x – y = -6

      + x + y =  8 

              2x + 0 =  2

            2x = 2

        2x/2 = 2/2

              x = 1

2. I- substitute o ihalili ang 1 para sa value ng x sa Equation 1 (o Equation 2) upang mahanap ang value ng y.

Kung sa Equation 1:

x – y = -6

1 – y = -6

    - y = -7

        -1(-y = - 7)

      y = 7

3. Suriin natin kung ang (1, 7) ay tumpak sa dalawang equation.

Para sa Equation 1:

x – y = -6

1 – 7 ≟ -6

      7 = 7

Para sa Equation 2:

x + y = 8

1 + 7 ≟ 8

      8 = 8

        Dahil tumpak ang nakuha nating equality sa dalawang equation, samakatuwid, ang ating nakuhang solution set na (1, 7) ay tama.

Subtracting Two Equations

May mga pagkakataon na nagiging mas kumplikado pa ang ating nakukuhang equation kapag pinag-add natin ang ating dalawang equations. Maraming sistema ang mahahanapan ng solusyon sa pamamagitan ng pagbabawas (subtraction) ng isang equation mula sa isa pang equation.

Halimbawa 2

Solve the following system by elimination:

4x + 2y = 14 (Equation 1)

5x + 2y = 16 (Equation 2)

Pansinin ang Equation 1 at 2. Makikita na hindi natin maaalis ang alinmang variable kapag ginamit natin ang elimination by addition. Sa ganitong pagkakataon, ang pagbabawas ng isang equation sa isa pa ang mas madaling option.

Ang tanong, aling equation ang ibabawas natin sa isa pa? 

        Pansinin ang mga coefficient ng dalawang equations. Kung anong equation ang may mas mababang coefficient, iyon ang ibabawas natin sa equation na may mas malalaking coefficient.

Pero ano nga ba ang coefficient?

        Ito ay ang bilang/numero bago ang x o y.

Sa Equation 1 na 4x + 2y = 14, ang coefficient ng x ay 4 at ang coefficient ng y ay 2. Sa Equation 2 na 5x + 2y = 16, ang coefficient ng x ay 5 at ang coefficient ng y ay 2. 

Maaari namang hindi na pag-ukulan pa ng pansin ang mga coefficients ng dalawang equations. Kahit alin ay p’wedeng ibawas sa isa pa. Gayunman, maging maingat lang sa pagpapalit ng signs ng mga ito dahil kapag namali, mali rin ang makukuhang value. 

        Sa itaas, napagpasyahan nating ibawas ang Equation 1 dahil mas mababa ang coefficient ng x nito kumpara sa coefficient ng x ng Equation 2.

        5x + 2y = 16 (Equation 2)

            - (4x + 2y = 14) (Equation 1)

           x + 0 = 2

                 x = 2

Tandaan na ang buong equation ng isa ang ibinabawas natin mula sa isa pang equation. Dagdag pa, nababago ang signs ng mga terms.

Ihalili natin ang 2 sa x sa Equation 1 (o Equation 2) para makuha natin ang value ng y.

         Kung sa Equation 2:

5x + 2y = 16

       5(2) + 2y = 16

          10 + 2y = 16

          2y = 6

       2y/2 = 6/2

            y = 3

Ihalili natin ang (2, 3) sa  Equation 1 at Equation 2 para matiyak kung tama ang ating solution set. 

         Para sa Equation 1:

      4x + 2y = 14

4(2) + 2(3) ≟ 14

         8 + 6 ≟ 14

      14 = 14

        Para sa Equation 2:

         5x + 2y = 16

   5(2) + 2(3) ≟ 16

10 + 6 ≟ 16

         16 = 16

        Dahil tama ang nakuha nating equality sa ating simultaneous equations, nangangahulugan ito na ang ating nakuhang solution set na (2, 3) ay tumpak.

Pareho pa rin kaya ang ating solution set kung basta na lamang natin ibinawas ang Equation 2 sa Equation 1? Tingnan natin.

4x + 2y = 14         (Equation 1)

      - (5x + 2y = 16) (Equation 2)

       -x + 0 = -2

      -1(-x = -2)

              x = 2

        Ihalili natin ang 2 sa x sa Equation 1 (o Equation 2) para makuha natin ang value ng y.

Kung sa Equation 1:

4x + 2y = 14

       4(2) + 2y = 14

            8 + 2y = 14

          2y = 6

       2y/2 = 6/2

            y = 3

Ihalili natin ang (2, 3)   Equation 1 at Equation 2 para matiyak kung tama ang ating solution set. 

        Para sa Equation 1:

      4x + 2y = 14

4(2) + 2(3) ≟ 14

          8 + 6 ≟ 14

       14 = 14

        Para sa Equation 2:

         5x + 2y = 16

   5(2) + 2(3) ≟ 16

10 + 6 ≟ 16

         16 = 16

        Mapapansin na tama pa rin ang nakuha nating solution set na (2, 3) sa ating simultaneous equations kahit na direkta nating ibinawas ang isang equation mula sa isa pang equation na hindi isinasaalang-alang ang kani-kanilang coefficients.

Dahil dito, nasasainyo na ang pumili ng pamamaraan na mas madali para sa inyo. 

Multiplying by a Constant

May mga pagkakataon na hindi natin direktang maidaragdag o maibabawas ang isang equation sa isa pa upang mawala ang isang variable o unknown. Magkaminsan, kailangan nating mag-multiply ng isang constant (positive o negative) upang ang coefficient ng x o y ng isang equation ay maging katulad o kapareho ng coefficient ng x o y ng isa pang equation. Nararapat ito nang sa gayon ay maisagawa natin ang elimination by addition o subtraction.

Halimbawa 3

Solve the following system by elimination:

3x + 4y = 52 (Equation 1)

  5x + y = 30 (Equation 2)

Pansinin ang Equation 1 at 2. Makikita na magkaiba ang coefficient ng x at y ng dalawang equation. Dahil dito, hindi natin magagamit nang direkta ang elimination by addition o subtraction.

Kailangan nating mag-multiply ng isang constant upang magkaroon ng magkaparehong coefficient ang ating sistema. 

                    3x + 4y = 52 (Equation 1)

      5x + y = 30 (Equation 2)

Anong constant ang ating imu-multiply sa isang equation upang maging kapareho nito ang coefficient ng isang variable ng isa pang equation?

Kung imu-multiply natin sa -4 ang Equation 2, magiging pareho na ang coefficient na x nito sa Equation 1. Subukin natin.

-4 (5x + y = 30)

-20x – 4y = - 120 (Equation 2a)

I-add natin ang Equation 2a sa Equation 1.

                     3x + 4y = 52 (Equation 1)

      +   -20x -4y = -120 (Equation 2a)

   -17x + 0 = -68

         -17x = -68

-  17x/-17 = -68/-17

               x = 4

Ihalili natin ang 4 sa x sa Equation 1 (o Equation 2) upang mahanap natin ang value ng y.

Para sa Equation 1:

3x + 4y = 52

     3(4) + 4y = 52

12 + 4y = 52

        4y = 40

     4y/4 = 40/4

          y = 10

        Upang matiyak na tama ang ating solution set na (4, 10), ihalili natin ang mga value na ito  sa Equation 1 at Equation 2.

        Para sa Equation 1:

        3x + 4y = 52

3(4) + 4(10) ≟ 52

       12 + 40 ≟ 52

        52 = 52

        Para sa Equation 2:

      5x + y = 30

5(4) + 10 ≟ 30

    20 + 10 ≟ 30

     30 = 30

        Dahil tama ang nakuha nating equality sa ating simultaneous equations, nangangahulugan ito na ang ating nakuhang solution set  na (4, 10) ay tumpak.

Summary

        To solve a system of linear equations in two variables by elimination, follow these steps: (Upang malutas ang system of linear equations na may dalawang variables o unknowns sa pamamagitan ng elimination, sundin ang mga hakbang na ito:)

1.    Arrange the two given equations in standard form, that is, ax + by = c, where a, b and c are constants. 

     ( Ayusin ang dalawang ibinigay na equation sa karaniwang anyo, iyon ay, ax + by = c, kung saan ang

a, b at c ay mga constants.)

2.    Reduce the two equations in two variables to a single equation in one variable. (Gawing isang equation na may isang variable/unknown ang dalawang equations na may dalawang variables/unknowns.)

a. If both equations have a variable with the same numerical coefficient, eliminate it by: (Kung ang dalawang equations ay may isang variable/unknown (x o y) na may parehong coefficient, alisin ito sa pamamagitan ng:)

        (1) adding the two equations if their coefficients have opposite signs; or [pag-add o pagdaragdag ng dalawang equation kung ang kanilang mga coefficient ay may magkasalungat na mga signs (positive at negative); o]

(2) subtracting the two equations if their coefficients have the same sign. (pagbabawas ng dalawang equation kung ang kanilang mga coefficients ay pareho ang mga signs (parehong positive o parehong negative).

        b. When neither variable has the same numerical coefficient, multiply one or both of the given equations by numbers which will make the numerical coefficients of one of the variables the same in both equations and proceed as in Step a. (Kapag walang parehong numerical coefficient ang alinman sa variable, i-multiply ang isa o parehong equation sa numero o mga numero para gawing magkapareho ang mga numerical coefficient ng isa sa mga variable sa parehong equation at magpatuloy tulad ng sa Hakbang a.)

3. Solve for the value of the remaining variable. (Kunin ang value ng natitirang variable/unknown.)

4.    Substitute this value to any of the given equations to find the value of the remaining variable. (Ihalili ang nakuha value sa alinman sa dalawang equations upang mahanap ang isa pang variable/unknown.)

5.    The resulting number pair is the solution set. (Ang makukuhang ordered pairs (x, y) ang solution set ng simultaneous equations.)

6.    Check the values by substituting them to the given equations. (Suriin ang mga values sa pamamagitan ng paghalili ng mga ito sa dalawang equations.)

        Ang mga equations sa ilang sistema ay maaaring maglaman ng mga fraction o mga simbolo ng pagpapangkat. Upang makatulong na malutas ang mga ito dapat mo munang gawing simple o iayos ang mga ito sa karaniwang anyo, ax + by = c. Pagkatapos ay maaari mo nang lutasin ang sistema sa pamamagitan ng simpleng pagdaragdag o pagbabawas.

Halimbawa 4 

        Solve −𝟏/𝟏𝟎𝒙 + 𝟏/𝟐𝒚 = 𝟒/𝟓     (Equation 1)

𝟏/𝟕𝒙 + 𝟏/𝟑𝒚 = −𝟐/𝟐𝟏     (Equation 2) 

Step 1: The equations should be cleared of fractions first.

Simplify Equation 1:

−𝟏/𝟏𝟎𝒙 + 𝟏/𝟐𝒚 = 𝟒/𝟓

a. Multiply the equation with the LCM of the denominators or the LCD of the fractions, which is 10.

        10 (−1/10𝑥 + 1/2𝑦 = 4/5)

        −10/10𝑥 + 10/2𝑦 = 40/5

                                  -x + 5y = 8 (Equation 3)

        Simplify Equation 2:

𝟏/𝟕𝒙 + 𝟏/𝟑𝒚 = −𝟐/𝟐𝟏

a. Multiply the equation with the LCM of the denominators or the LCD of the fractions, which is 21.

        21 (1/7𝑥 + 1/3𝑦 = −2)/21

         21/7𝑥 + 21/3𝑦 = −42/21

         3x + 7y = -2     (Equation 4)

        Our new equations in standard form==> ax + by = c

        -x + 5y = 8 (Equation 3)

       3x + 7y = -2 (Equation 4)

Step 2: Since there is no same coefficient in both equations, we need to multiply Equation 3 by 3 so that we can solve this system by elimination.

        3(-x + 5y = 8)

       -3x + 15y = 24 (Equation 3a)

Step 3. Add Equation 3a and Equation 4.

        -3x + 15y = 24 (Equation 3a)

           +    3x +   7y = -2 (Equation 4)

                 22y = 22

            22y/22 = 22/22

                     y = 1

Step 4: Substitute the value of y which is 1 into Equation 3 or 4 to find the value of x.

For Equation 4:

3x + 7y = -2

3x + 7(1) = -2

3x + 7 = -2

3x = -9

3x/3 = -9/3

x = -3

Step 5. Check if the solution set (-3, 1) is correct by substituting it for the original equations (Equation 1 and Equation 2).

For Equation 1:

−𝟏/𝟏𝟎𝒙 + 𝟏/𝟐𝒚 = 𝟒/𝟓

−1/10(−𝟑) + 1/2(𝟏) = 4/5

                3/10 + 1/2 = 4/5

          10(3/10 + 1/2 = 4/5)

           30/10 + 10/2 = 40/5

                       3 + 5 = 8

                             8 = 8

        For Equation 2:

         𝟏/𝟕𝒙 + 𝟏/𝟑𝒚 = −𝟐/𝟐𝟏

1/7(−𝟑) + 1/3(𝟏) = −2/21

            −𝟑/𝟕 + 𝟏/𝟑 = −𝟐/𝟐𝟏

      𝟐𝟏(−𝟑/𝟕 + 𝟏/𝟑 = −𝟐/𝟐𝟏)

       −𝟔𝟑/𝟕 + 𝟐𝟏/𝟑 = −𝟒𝟐/𝟐𝟏

                    -9 + 7 = - 2 

                                          -2 = -2

        Since we got two equalities, thus (-3, 1) is the solution set of our system of linear equations.

Pagsasanay 

        Solve the following system of linear equations or simultaneous equations by elimination and check your answers:

1. 5x + 3y = 17

  x + 3y = 1

2. 5x - 3y = 19

2x - 4y = 16

3. 𝑥/2+𝑦/8=4

𝑥/3  −𝑦/2=−2 

ANSWERS:

Lesson 4 - System of Linear Equations - Solving by Substitution

        Sa ALS Module Equations 2, Lesson 4 Part 1 ay napag-aralan natin kunin ang solution set ng ating simultaneous equations sa pamamagitan ng pag-plot ng graph ng mga ito. Napag-alaman natin na ang solution ng system of linear equations gamit ang graph ay ang coordinates o ordered pairs nito kung saan nag-intersect o nag-cross ang dalawang graphs ng ating mga equations.

Part 2 – Solving System of Linear Equations by Substitution

        Sa araling ito ay pagtutuunan naman natin ang pagkuha ng solution ng  simultaneous equations sa pamamagitan ng Algebra. Minsan, hindi masyadong accurate ang pagkuha ng solution ng system of linear equations gamit ang graph lalo na at hindi integers ang solution set o hindi tama ang pagpa-plot ng mag-aaral sa ordered pairs ng dalawang equations. Dahil dito, may ilan pang pamamaraan kung paano makukuha ang solution ng simultaneous equations. Isa na rito ang substitution method.

MATUTO TAYO

        Kung ang isang variable o unknown sa isang equation ng isang system ay nahiwalay na sa isang panig, maaari mong palitan ang value na nakuha mo para sa variable/unknown na iyon sa kabila o ikalawang equation. Ibig sabihin, kapag nakuha mo na ang value ng x bilang variable o unknown sa unang equation, maaari mo nang ihalili ang value na ito ng x sa ikalawang equation upang makuha naman ang value ng y. 

Halimbawa 1

        Solve the following using the substitution method:

x = 3y         (Equation 1)

x + 3y = 18 (Equation 2)

Sa sistema sa itaas, makikita sa Equation 1 na tinukoy na ang value ng x in terms of y. Kung isa-substitute o ihahalili natin ang value na ito ng x sa Equation 2, magiging isa na lamang ang ating variable o unknown. Sa madaling salita, makukuha na natin ang value ng y.

Subukin natin.

Mula sa Equation 1 na  x = 3y , magiging ganito na ang Equation 2 na x + 3y = 18:

3y  + 3y = 18

        6y  = 18

      6y/6 = 18/6

           y = 3

I-substitute natin ang value ng y sa Equation 1 upang makuha natin ang numerical value ng x.

x = 3y 

x = 3(3) 

x = 9

        Para matiyak na tama ang ating nakuhang solution na (9, 3), ihalili natin ang mga value na ito sa ating Equation 1 at Equation 2.

Para sa Equation 1:

x = 3y 

9 ≟ 3(3)

9 = 9

Para sa Equation 2:

x + 3y = 18 

9 + 3(3) ≟ 18

9 + 9 ≟ 18

18 = 18

        Dahil tama ang nakuha nating equality sa Equation 1 at Equation 2, samakatuwid, ang ordered pair na  (9, 3) ang solution ng ating sistema.

Halimbawa 2

        Minsan ang alinman sa equation ay walang isang variable lamang sa isang panig ng equation. Maaari nating lutasin ang isa sa mga variables o unknowns sa isang equation at ipalit ang value na ito sa kabilang equation.

Solve the following system by substitution:

3x + y = 13 (Equation 1)

5x – 2y = 7 (Equation 2)

Pansinin ang Equation 1. Makikita na ang coefficient ng y ay 1, samakatuwid, madaling lutasin ang equation na ito para sa y in terms of x.

                3x + y = 13

        y = -3x + 13 (Transposition)

Pagkatapos, ihalili natin ang value ng y sa Equation 2 para makuha ang value ng x.

5x – 2y = 7

5x – 2(-3x + 13) = 7

5x + 6x – 26 = 7

11x – 26 = 7

11x = 33

11x/11 = 33/11

x = 3

I-substitute natin ang value ng x na 3 sa alinman sa Equation 1 o 2 upang makuha natin ang value ng y.

        Subukin natin sa Equation 1.

3x + y = 13

        3(3) + y = 13

  9 + y = 13

        y = 4

Upang matiyak na tumpak ang ating nakuhang sagot na (3, 4), ipalit natin ito sa mga variables ng ating dalawang equations.

Para sa Equation 1:

  3x + y = 13

       3(3) + 4 ≟ 13

    9 + 4 ≟ 13

        13 = 13

Para sa Equation 2:

   5x - 2y = 7

    5(3) – 2(4) ≟ 7

    15 - 8 ≟ 7

            7 = 7

        Dahil tama ang nakuha nating equality sa ating simultaneous equations, nangangahulugan ito na ang ating nakuhang solution na (3, 4) ay tumpak.

Summary

        To solve a system of linear equations in two variables using the substitution method, follow these steps: (Upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation sa dalawang variable gamit ang paraan ng pagpapalit, sundin ang mga hakbang na ito:)

1.        Use either of the equations to solve for one variable in terms of the second variable. (Always select the equation wherein the variable is easier to work with.)

(Gamitin ang alinman sa mga equation upang malutas ang isang variable in terms ng pangalawang variable. (Palaging piliin ang equation kung saan mas madaling gamitin ang variable.)

2.        Substitute the expression obtained in Step 1 to the other equation. (Ipalit ang expression na nakuha sa Hakbang 1 sa isa pang equation.)

3.        Solve the resulting equation to find the value of the variable. ( I-solve ang nakuhang equation upang mahanap ang value ng variable.)

4.     Substitute the value of this variable to the simpler equation to find the value of the other variable. (Ipalit ang value ng variable na ito sa mas simpleng equation upang mahanap ang value ng iba pang variable.)

5.        The resulting number pair is the solution set. (Ang nakuhang pares ng numero (ordered pairs) ay ang solution set.)

6.        Check the answers you got by substituting them in the original equations. (Suriin ang mga sagot na nakuha mo sa pamamagitan ng pagpapalit sa kanila sa orihinal na mga equation.)

Pagsasanay 

        Solve the following system of linear equations or simultaneous equations by substitution and check your answers:

1. x – 5y = 7

2x – 4y = 8

2. 5x + 2y = 10

4x + 3y = 15

3. 2x – y = a

x – 2y = d 

ANSWERS:

Lesson 4 - Systems of Linear Equations - Solving by Graphing

NOTES

        1. This tutorial in Taglish is based on Module: Equations 2 prepared and published by the Department of Education of the Philippines for the Alternative Learning System (ALS) program.

        2. Sorry for any typographical and/or grammatical error that has been missed.

       3. Please comment for any incorrect answers.

=================================================

        

Matapos nating mapag-aralan ang mga araling nakapaloob sa ALS Module Equations 1, dadako naman tayo sa ALS Module Equations 2 upang pag-aralan din ang mga leksyon dito. Ang mga ito ay magbibigay sa iyo ng karagdagang kaalaman sa pangunahing konsepto ng balance o equality na kinakatawan mathematically ng mga equation. Ito ay magtuturo sa iyo ng higit pa tungkol sa mga konsepto ng mga equation at kung paano ito makakatulong sa iyong lutasin ang mga problemang nangyayari sa iyong pang-araw-araw na buhay.

        Sa pagpapatuloy ng ating pag-aaral hinggil sa equation, ang bahaging ito ay kinabibilangan ng tatlong aralin:

Lesson 4 — Systems of Linear Equations 

Lesson 5 — Applications of Linear Equations 

Lesson 6 — Quadratic Equations

Ano ang Matutunan Mo sa Modyul na Ito?

        Pagkatapos mong pag-aralan ang modyul na ito, dapat ay kaya mo nang:

• 1-solve ang mga sistema ng mga linear na equation;

• gumamit ng mga linear na equation sa paglutas ng mga word problems; at

• mahanap ang mga values ng x sa ibinigay na mga quadratic equation

Lesson 4 — Systems of Linear Equations 

MATUTO TAYO

        Sa nakaraang module, natutunan nain kung paano i-graph ang isang linear equation na may dalawang variable sa pamamagitan ng paggamit ng x-intercept at ng y-intercept o sa pamamagitan ng paggawa ng table of values. Sa araling ito, muli nating tatalakayin ang mga linear equation na may dalawang variable. Ngunit sa pagkakataong ito, lulutasin natin ang dalawang linear equation na may 2 unknowns hindi lamang sa pamamagitan ng graph kundi pati na rin sa paggamit ng Algebra.

        Ang systems ng equation na katulad ng set na ibinigay sa itaas ay tinatawag na simultaneous equations dahil ang dalawang equation ay kumakatawan sa dalawang kundisyon na ipinataw nang sabay sa mga variables. Ang mga values ng mga variables na nakakatugon sa parehong equations ay sinasabing mga solutions of system of equations. Sa graph, ang bawat solusyon ay tumutugma sa isang punto ng intersection ng mga graph ng dalawang equations.

Halimbawa 1

        Solve the following graphically then check.

x + y = 6

       -3x + y = 2

        Maaari naming i-graph ang isang linear equation sa pamamagitan ng paggawa ng isang talahanayan ng mga ordered pairs o sa pamamagitan ng paggamit ng x- at ang y-intercepts. Gamitin natin ang mga intercepts.

        Para sa x + y = 6

    Kapag x =0, 0 + y = 6

                      y = 6

        Samakatuwid ang (0,6) ay isang solution.

        Kapag ang y = 0, x + 0 = 6

               x = 6

Samakatuwid, ang (6, 0) ay isa ring solution.

Para sa -3x + y = 2

Kapag x =0, -3(0) + y = 2 

                                               0 + y = 2

             y = 2

Samakatuwid, ang (0, 2) ay isang solution.

Kapag y = 0,         -3x + 0 = 2 

                                              -3x = 0

        -3x/-3 = 2/-3

                 x = -2/3

Samakatuwid, ang (-2/3, 0) ay isa ring solution.

        Ito ang magiging graph ng dalawang equations kapag inilapat natin ang kanilang mga solutions sa coordinate plane.  

        Makikita sa graph na ang point  (1, 5) ay isa ring posibleng solution. I-check natin sa pamamagitan ng paghalili ng mga ito sa ating orihinal na equations.

Para sa x + y = 6  ==>1 + 5 ≟ 6 ==> 6 = 6

Para sa -3x + y = 2 ==> -3 + 6 ≟ 2 ==> 2 = 2

        Samakatuwid, ang solution para sa ibinigay na system of linear equations ay

                             (1, 5).

Halimbawa 2

        Solve this system by graphing:

-4x + 10y = 6

2x – 5y = 3

Para sa -4x + 10y = 6

Kapag x =0, -4(0) + 10y = 6

                                                      0 + 10y = 6 

                                                       10y/10 = 6/10 

                                                     y = 6/10 = 3/5

Samakatuwid, ang (0, 3/5) ay isang solution.

Kapag y = 0,         -4x + 10(0) = 6

                                             -4x + 0 = 6 

                                                             -4x = 6 

                                                         -4x/-4 = 6/-4 

                                                                 x = -3/2 o -1 ½

Samakatuwid, ang (-3/2, 0) ay isa ring solution.

         Para sa 2x – 5y = 3

Kapag x = 0,             2(0) – 5y = 3 

                                                0 – 5y = 3 

                                                         -5y/-5 = 3/-5 

                                                                 y = -3/5

Samakatuwid, ang (0, -3/5) ay isang solution.

Kapag y = 0,             2x – 5(0) = 3 

                                                         2x – 0 = 3 

                                                            2x/2 = 3/2 

                                                                 x = 3/2 o 1 ½.

Samakatuwid, ang ( 3/2, 0) ay isa ring solution.

        I-plot ang mga solutions ng dalawang equations sa coordinate plane

        Mapapansin na ang dalawang linya ay parallel. Wala silang magkaparehong point o hindi sila nag-intersect. Upang masuri kung sila nga ay parallel, i-solve kung pareho ang kanilang mga slopes

        Para sa -4x + 10y = 6 (Gawin ito sa pormang y = mx + b)

                    10y = 4x + 6

               10y/10 = 4x/10 + 6/10

                        y = 2/5x + 3/5

        Samakatuwid, ang slope ay 2/5 at ang y-intercept ay 3/5.

        Para sa 2x - 5y = 3

                            -5y = -2x + 3

                       -5y/-5 = -2x/-5 + (3/-5)    

                              y = 2/5x - 3/5

Samakatuwid, ang slope ay 2/5 at ang y-intercept ay -3/5.

        Dahil magkapareho ang slope ng dalawang equations, masasabing no solution ang system. Ang solution set ay {} o null set.

Halimbawa 3

        Solve the following by graphing:

y = -2x + 1

2x + y = 1

Para sa y = -2x + 1

                    Kapag ang x = 0, y = 2(0) + 1 

                                                        y = 0 + 1

                y = 1

Samakatuwid, ang (0,1) ay isang solution.

Kapag ang y = 0,         0 = -2x + 1 

                                                    -2x = -1

        -2x/-2 = -1/-2 

                                                       x = 1/2 

Samakatuwid, ang (1/2, 0) ay isa ring solution.

                Para sa 2x + y = 1

                    Kapag ang x = 0, 2(0) + y = 1 

                                                            0 + y = 1

                          y = 1

Samakatuwid, ang (0,1) ay isang solution.

Kapag ang y = 0,         2x + 0 = 1 

                                                              2x = 1

                   2x/2 = 1/2 

                                                                x = 1/2 

Samakatuwid, ang (1/2, 0) ay isa ring solution.

    Mapupuna na ang dalawang equations ay may magkaparehong solution sets. 

            Kapag nai-plot natin ang solution sets ng dalawang equations, ito ang kalalabasan ng kanilang graph: 

            Mapapansin na ang mga graphs ng dalawang equations ay magkapareho o ang mga ito ay nag-coincide o nagkalapat. Ang mga solutions ng sistema ay ang mga ordered pairs na (0, 1) at (1/2, 0) sa alinmang equation.

            Mapapatunayan nating magkapareho nga ang graph ng dalawang equation o ang mga ito ay nagkalapat kung ang kanilang mga slopes at y-intercept ay magkapareho. Tingnan natin.

            Para sa y = -2x + 1,  dahil ang equation ay nasa slope-intercept na, ang slope nito ay -2 at ang y-intercept ay 1.

            Para sa 2x + y = 1, gawin muna natin ito sa slope-intercept form:   

2x + y = 1 ==> 2x – 2x + y = -2x + 1 ==> y = -2x + 1. Ang slope ay -2 at ang y-intercept ay 1. 

            Dahil ang dalawang equations ay may magkaparehong slope at y-intercept, sila ay tinatawag na equivalent equations.

    Ang kanilang solution set ay isang infinite o walang katapusang set na maaaring isulat ng ganito:

     {( x,y) |  2x + y =  1}

            at basahin bilang “the solution set is the set of all ordered pairs (x, y) such that 2x + y = 1”.

Summary

To solve a system of linear equations in two variables graphically, first, graph the equations on the same coordinate plane. Then consider the following:

1. If the graphs are parallel, the system has no solution.

2. If the graphs coincide, the system has an infinite set of solutions.

3. If the graphs intersect, the coordinates of the point of intersection form the solution of the system.

Pagsasanay

1. Determine whether the given ordered pair is a solution to the system of linear equations or not.

(3,2) 2x + 3y = 12

        x – 4y = -5

2. Determine whether the given ordered pair is a solution to the system of linear equations or not.

(2, 5) y = -x + 7

        2x = y – 1

3. Graphically, find the solution set of the system: 

                        x - 2y = 1

                        x -   y = 2 

4. Graphically, find the solution set of the system: 

                        y = 2x + 4

                        2x -  y = 2 

 5. Find the solution set of the system:

                          x = y

                        x + y = 3 by graphing. Use fractions if necessary.

6. Solve this system of equations graphically and check your solution:

                        x = y + 1

                                2x + y = -7

ANSWERS:

Request for copy of your ALS COR , Certificate or Diploma

Nawawala ba o naiwala ang iyong COR, Diploma at/o ALS Certificate?

Para po sa nanghihingi ng certified copy, photocopy, or original ng inyong Certificate of Rating (COR), Diploma o ALS Certficate, at anumang katanungan hinggil sa programa ng Alternative Learning System at/o Philippine Educational Placement Test (PEPT), makipag-ugnayan po lamang sa ibaba:

Bureau of Education Assessment (BEA)

Office Address: 2/F, Bonifacio Bldg., DepEd Complex, Meralco Ave., Pasig City

Tel. Nos.: (02) 631-2571 / 631-2588 / 631-2589 / 631-2591 / 687-6717 / 631-6921

Office Hours: Monday to Friday, 8:00am-5:00pm (except weekends, holidays, and work suspensions)

Maaari rin po kayong mag-email sa  Bureau of Education Assessment (BEA), sa  bea.ead@deped.gov.ph at/o bea.od@deped.gov.ph.

Dahil po sa daming kahilingan at katanungan sa BEA, mangyari pong maghintay ng kaukulang panahon. Sundin po ang sinasaad ng iyong email o ang sinagot sa iyong pagtawag sa telepono. 

Answers to Exercises: Lesson 3 - Linear Equations In Two Variables

Narito ang mga sagot sa Pagsasanay ng Lesson 3 - Linear Equations In Two Variables | ALS Module Functions 1

Mga Sagot sa Pagsasanay

1. Determine whether (2, -1) is a solution of  y - 4 = 5(x – 3).

Ihalili lamang ang binigay na mga values sa equation at tingnan kung ang kaliwang panig ay katumbas o kapareho ang value ng kanang panig.

(2, -1) ==>  (x, y)

  y – 4 = 5(x – 3)

-1 – 4 ≟ 5(2 – 3)

      -5 ≟ 5(-1)

      -5 = -5 

     Samakatuwid, ang (2,-1) ay solution ng  y – 4 = 5(x – 3).

2. What are the coordinates of the point where the graph of the equation 

    2x + 3y = 3 crosses the y-axis?

Dahil nag-cross ang graph ng 2x + 3y = 3 sa y-axis, ibig sabihin, ang value ng x ay zero sa ordered pair na ito.

Kung gayon, kung x = 0, ang y ay:

2x + 3y     = 3

 2(0) + 3y = 3

            3y = 3

         3y/3 = 3/3

              y = 1

Samakatuwid, ang coordinates ng point kung saan tumawid ang equation 

2x + 3y = 3 ay (0, 1).

3. What are the coordinates of the point where the graph of the equation 

        y = -3x – 4 crosses the x-axis?

Dahil tumawid ang graph ng equation y = -3x – 4 sa x-axis, ibig sabihin ang value ng y sa coordinate na ito ay zero (0). Kung gayon, kung y = 0, ang value ng 

x ay:

    y = -3x – 4

    0 = -3x – 4

  3x = -4

       3x/3 = -4/3

    x = -4/3 or -1 1/3

Samakatuwid, ang coordinates ng point kung saan tumawid sa x-axis ang equation y = -3x – 4  ay (-4/3, 0) o (-1 1/3, 0).

4. Find the intercepts of the equation 3y = 5x, then draw its graph.

Upang mahanap ang x-intercept, ihalili ang zero (0) sa value ng y sa equation upang mahanap ang x.

3y     = 5x

3(0)  = 5x

    5x = 0

 5x/5 = 0/5

      x = 0

Upang mahanap ang y-intercept, ihalili ang zero (0) sa value ng x sa equation upang mahanap ang y.

3y = 5x

 3y= 5(0)

 3y = 0

      3y/3 = 0

   y = 0

Dahil parehong nasa origin ang ating x-intercept at y-intercept, hahanap pa tayo ng points upang ma-graph natin ang equation.

Maglalagay tayo ng arbirtrary o pansamantalang value ng x upang mahanap ang y.

Kung x = 3, ang y ay:

3y = 5x

3y = 5(3)

3y = 15

     3y/3 = 15/3

  y = 5

Ang ating dalawang points ay (0, 0) at (3, 5).

Maaari na nating i-drowing ang ating graph.

5. Write in slope-intercept form if the slope is ¾ and the y-intercept is – ½.

The slope-intercept form is y = mx + b, where m is the slope and b is the 

    y-intercept.

Dahil ang m = ¾ at ang y-intercept = -1/2, samakatuwid ang ating equation na nasa slope-intercept form ay:

        y = ¾ x – ½ 

Please follow this blog for more ALS tutorials, reviewers, and information.

Kindly subscribe to my Youtube channel:

        Solid Ka-ALS

Lesson 3 - Linear Equations in Two Variables | ALS Module - Equations 1

Lesson 3 – Linear Equations In Two Variables

        Sa nakaraang aralin ay nalaman natin ang mga konsepto at terminong karaniwang ginagamit sa Algebra. Natuto tayong mag-solve ng linear equation na may iisang variable o unknown.

Sa araling ito ay pagtutuunan naman natin ang pagresolba ng linear equations na may dalawang variables o unknowns.

MATUTO TAYO

        Ang isang equation tulad ng 4x + 5 = 21 ay may isang value, 4, bilang solusyon nito. Ang isang equation na may dalawang variable tulad ng y = 2x + 1 ay may maraming solusyon na maaari nating isulat bilang ordered pairs ng mga numero.

         Para sa isang equation tulad ng y = 2x + 1, isinusulat natin ang ordered pairs sa ganitong anyo,   (x, y).

Halimbawa 1

Determine whether (3, 7) is a solution of y = 3x - 2. (Tukuyin kung ang (3,7) ay isang solusyon ng y = 3x – 2)

Para gawin ito, ihalili lamang ang ordered pair (x, y) ==> (3,7) sa equation, tulad nito:

y = 3x – 2

7 ≟ 3(3) – 2

7 ≟ 9 – 2

7 = 7 

Samakatuwid, ang equation ay tama. Ang ordered pair na (3,7) ay isang solution ng y = 3x -2.

        We can find solutions to equations in two variables by choosing a value for one variable, substituting it, and computing the equation to find the value of the other variable. (Maaari tayong makahanap ng mga solusyon sa mga equation na may dalawang variables/unknowns sa pamamagitan ng pagpili o paglapat ng isang value sa isang variable, ihalili ito at i-compute ang equation upang mahanap ang value ng ikalawang variable/unknown.)

Halimbawa 2

Find 3 solutions for the equation 3x + y = 9.

        Mas madaling masasagot ang problema kung kukunin muna natin ang value ng y. Gamit ang transposition, ang ating equation na 3x + y = 9 ay magiging ==>

y = -3x + 9

        Ngayon, maaari na tayong maghalili ng value ng x upang makuha ang value ng y.

Kung ang value ng x ay zero (0), ang value ng y ay:

          y = -3(0) + 9

          y = -3 + 9 

          y = 6

Kung gayon, ang ordered pair na (0,6) ay isang solution ng equation.

Kapag pinili natin ang 2 bilang value ng x, ang value ng y ay magiging:

y = -3(2) + 9 

                y = -6 + 9 

                y = 3

Ang ikalawang solution ng ating equation ay ang ordered pair na (2,3).

Ngayon, ihalili naman natin ang –1 bilang x.

     y = -3(-1) + 9 

             y = 3 + 9 

             y = 12

Ang ating ikatlong solution ay (-1, 12).

        P’wede nating itala sa isang table/talahanayan ang mga ordered pairs upang madaling makita ang ilang solutions sa ating equation na 3x + y = 9. 

        Alam na natin ngayon na ang solution ng isang  linear equation na may 2 variables ay isang ordered pair ng mga numero. Ang mga ordered pairs na ito ay maaaring i-graph sa isang coordinate plane. Ang graph ng isang equation ay isang  drowing na kumakatawan sa mga solutions nito.  

Halimbawa 3

Graph the equation 4x = 8 – 2y.

        Bago nating mai-graph ang equation, hanapin muna natin ang mga solutions o ordered pairs nito.

Step 1 Gawing simple ang equation (ayon sa natutunan natin sa lesson 2).

4x = 8 – 2y 

2y = - 4x + 8  

2y/2 = -4x/2 + 8/2

y = -2x + 4

Step 2 Maghalili ng value ng x para makuha ang value ng y.

y = -2x + 4

Kung ang x = 0, y = -2(0) + 4 =  0 + 4 = 4

        x = -1 y = -2(-1) + 4 =  2 + 4 = 6

        x = -2 y = -2(-2) + 4 = 4 + 4 = 8

        x = 2 y = -2(2) + 4 = -4 + 4 = 0

        x = 4 y = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4

Step 3 Ilagay sa table o talahanayan ang mga values.

Step 4 I-plot ang mga points na (0, 4), (-1, 6), (-2, 8), (2, 0), at (4, -4) sa                                 coordinate plane. 

        Mapapansin sa graph na ang lahat ng points o ordered pairs ay nakalapat sa isang straight line. Kung magpa-plot pa tayo ng iba pang solutions, ang mga ito ay lalapat din sa nasabing tuwid na linya. Ang linya ay ang graph ng ating equation na 4x = 8 – 2y. Ang lahat ng points sa linya ay solusyon sa equation na ito.

Matuto Tayo

        Sa pag-graph ng mga linear na equation, maaaring tumawid ang isang tuwid na linya sa x-axis sa ilang points at maaari ring tumawid sa y-axis sa iba pang mga points. Ang mga points na ito ay tinatawag na mga intercept ng isang graph.

Ang x-intercept ay ang x-coordinate (value ng x) ng point kung saan tumatawid ang isang graph sa x-axis. Ang y- intercept, sa kabilang banda, ay ang y-coordinate (value ng y) ng point kung saan ang isang graph ay tumatawid sa y-axis.

        Ang bawat point sa x-axis ay may y-coordinate na zero at ang bawat point sa 

y-axis ay may x-coordinate na zero. Kapag pinagsama ang mga obserbasyon na ito kasama ang ideya ng mga intercept, maaari nating ibuod ang mga sumusunod:

        1.  Ang x-intercept ng isang graph ay ang x-coordinate ng punto na may y-coordinate na zero (0).

2.  Ang y-intercept ng isang graph ay ang y-coordinate ng punto na may x-coordinate na zero (0).

        Sa madaling salita, upang mahanap ang x-intercept ng graph ng isang equation, dapat nating hayaan ang y = 0 sa equation. 

Upang mahanap ang y-intercept, dapat nating hayaan ang x = 0 sa equation. 

Kapag naghahanap ng mga intercept, hindi kinakailangang ihiwalay ang alinmang variable.

Halimbawa 4

Find the x-intercept and the y-intercept of the line for the equation 2x + y = 1.

Kapag ang x = 0, ang y ay:

2(0) + y = 1 

                    0 + y = 1 

                          y = 1

Samakatuwid, ang y-intercept ay 1.

Kapag ang y = 0, ang x ay:

2x + 0 = 1 

                      2x = 1 

                        x = ½

Samakatuwid ang x-intercept ay ½.

        Ang graph ng mga puntos na (0, 1) at (1/2, 0) ay makikita sa ibaba:      

Halimbawa 5

Graph the equation  x – y = 0.

Step 1 Hanapin ang x at y-intercept ng equation.

Kapag ang x = 0, ang y ay:

0 – y = 0 

                              y = 0

Samakatuwid, ang y-intercept ay 0.

Kapag ang y = 0, ang x ay:

x – 0 = 0 

                              x = 0

Samakatuwid, ang x-intercept ay 0 rin.

        Anong nangyari? Mukhang magkakaproblema tayo dito dahil ang x-intercept at y-intercept ay parehong zero (0) o nasa origin. Kapag nangyari ito, kailangan nating maghanap ng isa pang point sa graph sa pamamagitan ng pagpili ng arbitrary o pansamanalang  x-value at hanapin ang katumbas na y-value nito.

Ang una nating solution o point ay (0,0). Humanap pa tayo ng isa pang point.

Sa ating equation na x – y = 0, kung x = 2, ang y ay magiging: 

                    2 – y = 0 

                         -y = -2 

                          y = 2.

        Ang ating ikalawang puntos ay (2,2).

        Ang graph ng mga puntos na (0, 0) at (2, 2) ay makikita sa ibaba:      

Summary

• A solution of an equation with two variables is an ordered pair of numbers that can be plotted on a coordinate plane.

• A graph of an equation is a drawing that represents its solutions.

• The intercepts of a graph are the points where a straight line crosses the x- and y-axes.

• The x-intercept is the x-coordinate of the point at which a graph crosses the x-axis.

• The y-intercept is the y-coordinate of the point at which a graph crosses the y-axis.

• In the formula, y = mx + b, m is the slope of the line while b is the coefficient of y.

• To graph a linear equation of the form ax + by = c using the intercept method, we follow these steps:

        1. Find the x-intercept by letting y = 0 in the original equation.

        2. Find the y-intercept by letting x = 0 in the original equation.

        3. Write the ordered pair corresponding to each intercept.

        4. Plot the intercept points and connect them with a straight line.

• The equations for most lines may be given by the slope-intercept form 

                y = mx + b.

        Note that m is the slope of the line. The arbitrary constant, b, is the y-intercept.

        Without drawing a graph of the equation, determine the slope and y-intercept of the equation y = 2x + 5.

The coefficient of x is 2 and the constant term is 5. Thus m = 2 and b = 5.

Pagsasanay

1.    Determine whether (2, -1) is a solution of y - 4 = 5(x – 3).

2.   What are the coordinates of the point where the graph of the equation 

        2x + 3y = 3 crosses the y-axis?

3.   What are the coordinates of the point where the graph of the equation 

        y = -3x – 4 crosses the x-axis?

4.   Find the intercepts of the equation 3y = 5x, then draw its graph.

5.   Write in slope-intercept form if the slope is ¾ and the y-intercept is – ½.

For the answers, please CLICK this link: ANSWERS to Exercises: Lesson 3 - Linear Equations In Two Variables

Reference: ALS Module - Equations 1