Lesson 2 - Linear Equations in One Variable: ALS Module - Equations 1

 Lesson 2 – Linear Equations in One Variable

(Image from https://www.cmuse.org)

Simulan natin ang pag-aaral sa pamamagitan ng pag-alam sa mga konsepto ng mga sumusunod na termino:

1. Ang equality ay isang mathematical na pahayag kung saan ang dalawang expression ay pantay o may parehong value/halaga.

Kung gayon, ang 3x = 15 at 2y + 4y = 6y ay mga equation.

2. May dalawang uri ng equalities. Ang mga ito ay ang equations at identities.

3. Ang identity ay isang equality kung saan sa mga variable ay maaaring magkaroon ng anumang value at kung saan ang equality ay magiging tama sa lahat ng pagkakataon. Nangangahulugan ito na ang kaliwang bahagi ng isang equation ay palaging katumbas ng kanang bahagi kahit anong value/halaga ang ipinalit para sa variable.

Halimbawa, isaalang-alang natin ang ating equality sa itaas na:

2y + 4y = 6y

Kung ang value ng ating variable y ay 0 (zero), ang equation ay magiging ==>

2(0) + 4(0) = 6(0)

0 + 0 = 0

0 = 0

Kung ang y naman ay may value na 1, ang equation ay magiging ==>

2(1) + 4(1) = 6(1)

2 + 4 = 6

6 = 6

Mapapansin natin sa itaas na kahit ano ang value na ipalit natin sa ating variable, ang equation ay magiging tama o totoo.

4. Dahil walang mga paghihigpit o restrictions sa mga value na  maaaring mayroon ang y, ang 2y + 4y = 6y ay isang halimbawa ng unconditional equality.

5. Sa kabilang banda, ang isang equation ay isang conditional equality kung ang variable/s nito ay may partikular o iisang value lamang.

6. Ang solution o root ng isang equation ay anumang numero na, kapag pinalitan ang variable, ay gagawing pantay ang dalawang panig ng isang equation. Masasabi na ang root ang siyang nagbigay tama sa isang equation.

Halimbawa, sa equation na 5x – 13 = -3x + 19

Kung 4 ang ipapalit natin sa x sa equation, ito ay magiging ==>

5(4) – 13 = -3(4) + 19

   20 – 13 = -12 + 19

     7 = 7

Samakatuwid, ang 7 ay solution o root ng equation.

Samantala, kung 2 ang ipapalit natin sa x sa equation, ito ay magiging ==>

5(2) – 13 = -3(2) + 19

   10 – 13 = -6 + 19

   -3 ≠ 13

Dahil ang -3 ay hindi katumbas ng 13, masasabi natin na ang 2 ay hindi isang solution o root ng equation.

7. Ang set ng lahat ng mga solution ng isang equation  ay tinatawag na solution set. Upang malutas ang isang equation, nangangahulugang dapat nating  hanapin ang solution set nito.

8. Ang linear equation ay isang equation na ang lahat ng  term ay nasa first degree. Nangangahulugan ito na ang pinakamataas na exponent o kabuuan ng mga exponent ng alinman sa mga termino ng isang equation ay 1.

    Ang graph ng isang linear equation ay straight line. 

9. Ang linear equations ay maaaring uriin sa linear equations in one variable, linear equations in two variables, linear equations in three variables at iba pa.

10.   Ang linear equations in a variable, x, ay maaaring isulat sa pormang   

        ax + b = 0 kung saan ang a ay hindi maaaring zero (0).

11.   Ang equivalent equations ay algebraic equations na may magkaparehong solution sets o roots.  Ang pag-add o pag-subtract ng parehong numero o expression sa pagkabilang panig ng equation ay magreresulta ng equivalent equations.

Halimbawa, sa equation na x – 2 = 8, ang ating makukuhang sagot ay:

x -  2 = 8 

                      x = 8 + 2

      x = 10

Sa parehong equation na x – 2 = 10, 

kapag nagdagdag tayo ng 5 sa kaliwa at sa kanang panig ng equation, hindi pa rin magbabago ang equation. Subukin natin.

x – 2 + 5 = 8 + 5

      x + 3 = 13

            x = 10

Samakatuwid, ang x – 2 = 8 at x – 2 + 5 = 8 + 5 ay equivalent equations.

Tandaan lamang na kung ano ang ginawa sa kaliwang panig (left side) ay ganoon din ang gagawin sa kanang panig (right side) ng equation.

Hindi lamang addition at subtraction ang maaaring gawin sa magkabilang panig ng equation. Maaari ring gawin ang multiplication at division subalit ang numerong gagamitin ay dapat ay non-zero.

12.    Ang proseso ng paglipat ng isang termino sa kabilang panig at pagbabago ng sign nito ay tinatawag na transposition.

Halimbawa:

- 4m    =   - 5m – 3

-4m + 5m   =   - 5m – 3 + 5m

       m = 0 – 3

               m = -3

Sa pagso-solve ng linear equation in one variable, pagsamahin o ilipat natin ang variable sa kaliwang panig ng equation at ang constant naman ay nasa kanang panig.

13.    Ang literal equation ay isang equation kung saan ang ilan sa mga constant ay hindi tinukoy ngunit kinakatawan ng mga titik tulad ng a, b, c o d. Ang mga titik na ito ay tinatawag na  literal constants o arbitrary constants.

Samakatuwid,  ang 5x = Q ay isang halimbawa ng literal equation kung saan ang x ay isang variable at ang Q naman ay isang literal or arbitrary constant. 

Narito ang ilan pang halimbawa ng literal equations:

A = πr2         (area of a circle)

P = 2L + 2W         (perimeter of a rectangle)

C=5/9  (F −32)       (Fahrenheit to Centigrade)

P = 4s         (perimeter of square)

Mapapansin na ang mga equations sa itaas ay mga formulas. Ito ay dahil ang lahat ng formulas ay literal equations.

How to Solve Linear Equations in One Variable

Matapos nating mapag-aralan ang konsepto ng iba’t ibang termino, handa na tayong mag-solve ng linear equation na may isang variable. Paano natin ito gagawin?

Example A: Solve 5x – 7 + 4x = 2x – 28 + 4x.

Step 1 Gawing simple ang equation sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng magkaparehong terms.

5x – 7 + 4x = 2x – 28 + 4x ==>

        9x – 7 = 6x - 28

Step 2 Ihiwalay ang variable at ilagay ito sa kaliwang panig at ang constant naman ay ilagay sa kanang bahagi gamit ang addition property of equality o sa pamamagitan ng transposition.

         9x – 7 = 6x – 28

  9x – 7 + 7 = 6x – 28 + 7

      9x = 6x – 21

      9x – 6x = 6x – 6x – 21

      3x = -21

Step 3 Gamitin ang multiplication property of equality o i-divide ang dalawang panig ng  numerical coefficient ng variable

Step 3 Ihalili ang nakuhang value ng variable sa orihinal na equation upang matiyak na tama ang nakuhang solution, root, o sagot.

                                              x = - 7

                          5x – 7 + 4x = 2x – 28 + 4x 

                      5(-7) – 7 + 4(-7) = 2(-7) – 28 + 4(-7)

                     -35 – 7 – 28 = -14 – 28 -28

                           -70 = - 70

Samakatuwid, x = - 7 ay ang solution o root ng  5x – 7 + 4x = 2x – 28 + 4x dahil natugunan nito ang equation.

Example B: Solve 3(x –2) + 6 = 5x + 2.

Step 1 Gamitin ang multiplication property over addition upang maalis ang mga  parentheses.

3(x –2) + 6 = 5x + 2 ==>

       3x – 3(2) + 6 = 5x + 2

    3x – 6 + 6 = 5x + 2

          3x + 0 = 5x + 2

                3x = 5x + 2

Step 2 Ihiwalay ang variable at ilagay ito sa kaliwang panig at ang constant naman ay ilagay sa kanang bahagi gamit ang addition property of equality o sa pamamagitan ng transposition.

   3x = 5x + 2

   3x – 5x = 5x – 5x + 2

          -2x = 2

Step 3 I-multiply ang magkabilang panig ng  multiplicative inverse ng –2, iyan ay −1/2.

-2x = 2

    −1/2 (−2𝑥) = −1/2 (2)

   x = -1

Step 4 Ihalili ang nakuhang value ng variable sa orihinal na equation upang matiyak na tama ang nakuhang solution, root, o sagot.

       x = - 1

                    3(x –2) + 6 = 5x + 2

          3(-1 – 2) + 6 = 5(-1) + 2

        3(-3) + 6 = - 5 + 2

            - 9 + 6 = -3

                   -3 = - 3

Samakatuwid, x = - 1 ay ang solution o root ng  3(x –2) + 6 = 5x + 2  dahil natugunan nito ang equation.

Example C: Solve 5(y + 3) - 4 = 5y - 8.

Step 1 Gamitin ang multiplication property over addition o distributive property upang maalis ang mga  parentheses.

       5(y + 3) - 4 = 5y - 8 ==>

 5(y) + 5(3) – 4 = 5y – 8

       5y + 15 – 4 = 5y – 8

Step 2 Gawing simple ang equation sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng magkaparehong terms.

5y + 15 – 4 = 5y – 8

      5y + 11 = 5y - 8

Step 3 Ihiwalay ang variable at ilagay ito sa kaliwang panig at ang constant naman ay ilagay sa kanang bahagi gamit ang addition property of equality o sa pamamagitan ng transposition.

  5y + 11 = 5y - 8

  5y – 5y + 11 = 5y – 5y – 8

          11 = 8 ?

Samakatuwid, dahil ang 11 ay hindi maaaring equal sa 8, ang equation na  

 5(y + 3) - 4 = 5y - 8 ay no solution  (walang solution).

Matuto Tayo

Upang malutas ang mga equation na kinasasangkutan ng mga fraction na walang mga variable sa denominator, maaari tayong magsimula sa pamamagitan ng paggamit ng multiplication property of equality upang mawala ang mga fractions sa equation. Maaari nating gamitin ang anumang common multiple tulad ng least common multiple (LCM) ng lahat ng denominator sa equation. (Ang LCM ng 2 o higit pang bilang ay ang pinakamaliit na numero na multiple o factor ng mga bilang na ito). Ang LCM ay tatawagin na natin ngayong least common denominator (LCD).

Upang matutunan ito, unawain natin ang mga sumusunod na halimbawa.

Example 1

Step 1 I-multiply ang magkabilang panig ng LCD, 8, upang mawala ang mga fractions sa equation.

Step 2 Ihiwalay ang variable at ilagay ito sa kaliwang panig at ang constant naman ay ilagay sa kanang bahagi gamit ang addition property of equality o sa pamamagitan ng transposition.

6x + 16 = 3x – 32

6x – 3x + 16 – 16 = 3x  – 3x – 32 – 16

  3x + 0 = 0 - 48

        3x = - 48

Step 3 I-multiply ang magkabilang panig ng  multiplicative inverse ng 3, iyan ay 1/3.

       3x  =  - 48

         1/3(3𝑥  = −48)

             3𝑥/3 = −48/3

          x = - 16

Step 4 Ihalili ang nakuhang value ng variable sa orihinal na equation upang matiyak na tama ang nakuhang solution, root, o sagot.

       

                     

Samakatuwid, x = - 16 ay ang solution o root ng 3/4 𝑥 + 2 = 3/8𝑥 −4  dahil natugunan nito ang equation.

Example 2

        

Step 1 I-multiply ang magkabilang panig ng LCD, 3x, upang mawala ang mga fractions sa equation.

             

Step 2 Ihiwalay ang variable at ilagay ito sa kaliwang panig at ang constant naman ay ilagay sa kanang bahagi gamit ang addition property of equality o sa pamamagitan ng transposition.

2x - 6 = 12

  2x - 6 + 6 = 12 + 6

      2x = 18

Step 3 I-multiply ang magkabilang panig ng  multiplicative inverse ng 2, iyan ay 1/2.

2x = 18

 1/2(2𝑥 = 18)

    2𝑥/2 = 18/2

 x = 9

Step 4 Ihalili ang nakuhang value ng variable sa orihinal na equation upang matiyak na tama ang nakuhang solution, root, o sagot.

                x = 9

          2/3  − 2/𝑥  =  4/𝑥  

           2/3  − 2/9 = 4/9   

 

Step 5 I-multiply ang magkabilang panig ng LCD, 9, upang mawala ang fractions.  

 

                    9(2/3 − 2/9 = 4/9)

                    18/3 −18/9 = 36/9

     6 – 2 = 4

           4 = 4

                     

Samakatuwid, x = 9 ay ang solution o root ng  2/3  −2/𝑥=4/𝑥   dahil natugunan nito ang equation.  

Example 3

          

Step 1 Ihiwalay ang constant sa kaliwang panig  at ilagay ito sa kanang bahagi gamit ang addition property of equality o sa pamamagitan ng transposition.

Step 2 Gamitin ang cross multiplication. I-multiply ang numerator ng kanang panig sa denominator ng kaliwang panig at numerator ng kaliwang panig sa denominator ng kanang panig.

Step 3 Ilipat sa kanang panig ang constant sa kaliwang panig sa pamamagitan ng transposition.

2y + 5 = 9

2y + 5 – 5 = 9 – 5

2y = 4

Step 4 I-multiply ang magkabilang panig ng  multiplicative inverse ng 2, iyan ay 1/2.

        2y  = 4

1/2(2𝑦)  = 1/2(4)

      2𝑦/2 = 4/2  

           y = 2

Step 5 Ihalili ang nakuhang value ng variable sa orihinal na equation upang matiyak na tama ang nakuhang solution, root, o sagot. 

                

               Samakatuwid, y = 2 ay ang solution o root ng   3/(2𝑦+5 )+2/3=1   dahil natugunan nito ang equation.

Summary

• A solution or root of an equation is any number that, when substituted for the variable, makes both sides of the equation equal.

• The set of all solutions is called the solution set.

• We say that two equations are equivalent if they both have the same solution set—any solution of one is also a solution of the other.

• A linear equation is an equation of the first degree in any number of variables.

• Linear equations in a variable, x, can be written in the form ax + b = 0 where a ≠ 0.

• The process of moving a term to the other side of an equation and changing its sign is called transposition.

• A literal equation is an equation in which some of the constants are not specified but are represented by letters such as a, b, c or d.

• Formulas are literal equations.

ANSWERS:

Lesson 1 - Mathematical Expressions: ALS Module - Equations 1

 ALS Module: Equations 1

(Image from https://happynumbers.com)

What Is This Module About?

Ang modyul na ito ay ang una sa dalawang modyul tungkol sa equations. Ipakikilala nito sa iyo ang pangunahing konsepto ng balance o equality na mathematically na kinakatawan ng mga equation. Ituturo nito sa iyo ang lahat tungkol sa mga konsepto ng mga equation at kung paano ito makatutulong sa iyo na malutas ang mga problemang nangyayari sa ating pang-araw-araw na buhay.

Ang modyul na ito ay binubuo ng tatlong aralin o lessons: 

Lesson 1—Mathematical Expressions 

Lesson 2—Linear Equations in One Variable

Lesson 3—Linear Equations in Two Variables

What Will You Learn From This Module?

Pagkatapos mong pag-aralan ang modyul na ito, dapat ay kaya mo nang:

• tukuyin kung ano ang mga linear na equation;

• gawing simple ang mga linear equation;

• tukuyin kung ano ang mga literal na equation;

• lutasin ang mga literal na equation;

• gawing mathematical expression ang mga parirala/pangungusap sa Ingles;

• lutasin ang mga word problems na kinasasangkutan ng mga linear equation;

• graph linear equation; at

• lutasin ang slope at y-intercept gamit ang mga linear equation.

Lesson 1 – Mathematical  Expressions

Bago natin talakayin ang mga equation at kung paano lutasin ang mga ito, suriin muna natin kung paano ipahayag nang maayos ang mga parirala at pangungusap sa matematika.

Suriin muna natin ang ilang mahahalagang termino bago kita hayaang gumawa ng ilang hands-on na pagsasanay.

Ang mga operational symbols ay mga simbolo na ginagamit para sa mga operasyon. Kabilang dito ang mga sumusunod:

1. Plus sign (+) Addition, such as m + n, means the sum of m and n.

2. Minus sign (–) Subtraction, such as p – q, means the difference of 

                                p and q or p is decreased by q

3. Multiplication sign (×) Multiplication,  such as r × s means the product of                                         r and s or  r multiplied by s

4. Division sign (÷) Division, such as d ÷ t means d divided by t or the                                                     quotient of d divided by t

5. Involution                 The operation of raising to a power, such as 

                                x² means the square of x, 

                                y³ means the cube of y, 

                                z⁴ means the fourth power of z

6. Radical sign (√) Evolution, the operation of taking a root, such as

                        √𝑥³ means the square root of x³ 

                        ∛𝑦⁴ means the cube root of y⁴ 

                        ∜𝑧  means the fourth root of z

Terms to Remember

1. Ang constant ay isang numero na ang value ay fixed o hindi nababago. 

Mga halimbawa ng constant:

                0, 3, -4, 17

2. Ang variable ay isang  numerical quantity na ang value ay nababago o naiiba. Kalimitan, gumagamit tayo ng mga titik para kumatawan sa mga variables.

Mga halimbawa ng variable:

            a,b, c,  m, n, x, y, z

3. Ang algebraic expression ay maaaring isang constant, isang  variable o  kumbinasyon ng  constants at variables na kinabibilangan ng operations ng addition, subtraction, multiplication at/o division.

Narito kung paano ginagamit ang mga algebraic expressions:

Algebraic Expression             Meaning

    10 + x             Add 10 and the variable x

   y – 3     Subtract 3 from the variable y

𝒂÷𝟐  or  𝒂/𝟐          Divide the variable a by 2

    9x     Multiply 9 by the variable x

  –3y     Multiply –3 by the variable y

4. Ang mga simbolo na ginamit upang ipakita na ang mga quantities na  nakapaloob sa kanila ay itinuturing bilang isang quantity ay tinatawag na grouping symbols or signs of aggregation.

Mga halimbawa ng grouping symbols

( ) parentheses 

[ ] brackets 

{ } braces 

Mga Halimbawa 1

Translate the following English phrases into algebraic expressions:

    a. The difference of two numbers represented by a and b

a – b

    b. Three more than the product of x and y 

xy + 3

    c. The age of Mary five years hence if she is now m years old

m + 5

    d. The quotient of thrice a number y and two more than z

3y ÷ (z + 2)

    e. What is the difference between 5 less than a number n and 5 less a number n?

(5 – n) – (5 – n)

5. Ang mga simbolo na ginagamit upang ipakita ang ugnayan ng dalawang quantities ay tinatawag na  relation symbols. Kabilang sa mga ito ang nasa talahanayan sa ibaba:

6. Ang  mathematical statement ay nagpapakita ng ugnayan ng dalawang quantities o expressions gamit ang mga relation symbols.

Mga Halimbawa 2

Translate the following English sentences into mathematical statements:

    a. 5 less than twice a number is equal to 3 more than the same number. 

Let x             =     the original number

2x – 5          =     5 less than twice a number

x + 3            =     3 more than the same number

2x – 5 = x + 3      is the mathematical statement 

2x – 5 and x + 3  are both algebraic expressions

    b. The sum of a and b is greater than 5.

Let a + b     =     sum of a and b

a + b > 5            is the mathematical statement

    c. A number increased by 9 equals 28.

Let n             =     the number

         n + 9 = 28     is the mathematical statement

    d. A number decreased by 7 equals 48.

Let n             =     the number

n – 7 = 48     is the mathematical statement

    e. 3000 is 75 times a number.

Let n             =     the number

3000 = 75n     is the mathematical statement

Unawain at Tandaan Natin

• Operational symbols are symbols used for operations in mathematics.

• A constant is a number whose value is fixed or never changes.

• A variable is a numerical quantity whose value changes. It is represented by             a  letter.

• An algebraic expression is a constant, a variable, or a combination of constants and variables involving any of the operations of addition, subtraction, multiplication, and/or division.

• Grouping symbols or signs of aggregation are symbols used to show that the quantities they enclose are treated as one quantity.

• Relation symbols are symbols used to show the relationship between two quantities.

• A mathematical statement shows the relation between two quantities or expressions by using the relation symbols.

Pagsasanay

A. Express the following in mathematical expressions.

1. One-half of the sum of a and b. 

2. The money of Mary after spending x pesos if she had y pesos originally

3. The money of Jane after buying x books at y pesos each if she had z pesos originally. 

4. The money of James after his father gave him 5 times his money if he had m money originally.

5. The age of Anita 5 years ago if her age now is a.

B. Use mathematical symbols to interpret the following and tell whether each is a mathematical statement or an algebraic expression.

1. The cost of n apples at p pesos each.

2. The difference of  two numbers a and b is less than c.

3. The age of Betty 2 years from now if she is already x years old.

4. The product of 9 and a is greater than one-half the quotient of b and 8.

5.  Five more than thrice a number n

C. Change the following word expressions into mathematical sentences and simplify them.

1. Each month Mark’s mother earns twice as much as he does and his father earns P5000 more than he does. Write an algebraic expression for the total monthly earnings of  Mark’s family.

2. Tony is saving money for a vacation during summer break. If he deposits P500 and then saves P120 a week for x weeks, write an algebraic expression for the amount that he will have at the end of x weeks.

3. Bonnie and Dan are buying apples. Bonnie buys 5 kilos of apples for $8. Dan buys 8 kilos of apples that cost $0.40 less per kilo than the apples Bonnie buys. Write an algebraic expression for the total amount Bonnie and Dan spent. 

ANSWERS: