Lesson 4 - Systems of Linear Equations: Solving by Elimination

Part 3 – Solving System of Linear Equations by Elimination

        Sa nakaraang dalawang aralin ay napag-aralan natin kunin ang solution set ng ating simultaneous equations sa pamamagitan ng pag-plot ng graph ng mga ito at gamit ang  substitution method. Sa leksyong ito, aalamin naman natin kung paano kunin ang solution set ng ating linear equations in two variables gamit ang elimination method.

MATUTO TAYO

        Ang layunin ng elimination method ay alisin ang isa sa mga variable. Sa pamamaraang ito, dalawa ang ating istratehiya. Maaari nating i-add ang dalawang equations o ibawas/ i-subtract ang isang equation mula sa isa pa.

ADDING TWO EQUATIONS

Sinasabing mas madali ang elimination method sa pamamagitan ng pagdaragdag (addition) ng isang equation sa isa pang equation.

Halimbawa 1

Solve the following using the elimination method:

x – y = -6 (Equation 1)

x + y =  8 (Equation 2)

1. I-add o idagdag ang kaukulang panig ng dalawang equation upang maalis ang y.

        x – y = -6

      + x + y =  8 

              2x + 0 =  2

            2x = 2

        2x/2 = 2/2

              x = 1

2. I- substitute o ihalili ang 1 para sa value ng x sa Equation 1 (o Equation 2) upang mahanap ang value ng y.

Kung sa Equation 1:

x – y = -6

1 – y = -6

    - y = -7

        -1(-y = - 7)

      y = 7

3. Suriin natin kung ang (1, 7) ay tumpak sa dalawang equation.

Para sa Equation 1:

x – y = -6

1 – 7 ≟ -6

      7 = 7

Para sa Equation 2:

x + y = 8

1 + 7 ≟ 8

      8 = 8

        Dahil tumpak ang nakuha nating equality sa dalawang equation, samakatuwid, ang ating nakuhang solution set na (1, 7) ay tama.

Subtracting Two Equations

May mga pagkakataon na nagiging mas kumplikado pa ang ating nakukuhang equation kapag pinag-add natin ang ating dalawang equations. Maraming sistema ang mahahanapan ng solusyon sa pamamagitan ng pagbabawas (subtraction) ng isang equation mula sa isa pang equation.

Halimbawa 2

Solve the following system by elimination:

4x + 2y = 14 (Equation 1)

5x + 2y = 16 (Equation 2)

Pansinin ang Equation 1 at 2. Makikita na hindi natin maaalis ang alinmang variable kapag ginamit natin ang elimination by addition. Sa ganitong pagkakataon, ang pagbabawas ng isang equation sa isa pa ang mas madaling option.

Ang tanong, aling equation ang ibabawas natin sa isa pa? 

        Pansinin ang mga coefficient ng dalawang equations. Kung anong equation ang may mas mababang coefficient, iyon ang ibabawas natin sa equation na may mas malalaking coefficient.

Pero ano nga ba ang coefficient?

        Ito ay ang bilang/numero bago ang x o y.

Sa Equation 1 na 4x + 2y = 14, ang coefficient ng x ay 4 at ang coefficient ng y ay 2. Sa Equation 2 na 5x + 2y = 16, ang coefficient ng x ay 5 at ang coefficient ng y ay 2. 

Maaari namang hindi na pag-ukulan pa ng pansin ang mga coefficients ng dalawang equations. Kahit alin ay p’wedeng ibawas sa isa pa. Gayunman, maging maingat lang sa pagpapalit ng signs ng mga ito dahil kapag namali, mali rin ang makukuhang value. 

        Sa itaas, napagpasyahan nating ibawas ang Equation 1 dahil mas mababa ang coefficient ng x nito kumpara sa coefficient ng x ng Equation 2.

        5x + 2y = 16 (Equation 2)

            - (4x + 2y = 14) (Equation 1)

           x + 0 = 2

                 x = 2

Tandaan na ang buong equation ng isa ang ibinabawas natin mula sa isa pang equation. Dagdag pa, nababago ang signs ng mga terms.

Ihalili natin ang 2 sa x sa Equation 1 (o Equation 2) para makuha natin ang value ng y.

         Kung sa Equation 2:

5x + 2y = 16

       5(2) + 2y = 16

          10 + 2y = 16

          2y = 6

       2y/2 = 6/2

            y = 3

Ihalili natin ang (2, 3) sa  Equation 1 at Equation 2 para matiyak kung tama ang ating solution set. 

         Para sa Equation 1:

      4x + 2y = 14

4(2) + 2(3) ≟ 14

         8 + 6 ≟ 14

      14 = 14

        Para sa Equation 2:

         5x + 2y = 16

   5(2) + 2(3) ≟ 16

10 + 6 ≟ 16

         16 = 16

        Dahil tama ang nakuha nating equality sa ating simultaneous equations, nangangahulugan ito na ang ating nakuhang solution set na (2, 3) ay tumpak.

Pareho pa rin kaya ang ating solution set kung basta na lamang natin ibinawas ang Equation 2 sa Equation 1? Tingnan natin.

4x + 2y = 14         (Equation 1)

      - (5x + 2y = 16) (Equation 2)

       -x + 0 = -2

      -1(-x = -2)

              x = 2

        Ihalili natin ang 2 sa x sa Equation 1 (o Equation 2) para makuha natin ang value ng y.

Kung sa Equation 1:

4x + 2y = 14

       4(2) + 2y = 14

            8 + 2y = 14

          2y = 6

       2y/2 = 6/2

            y = 3

Ihalili natin ang (2, 3)   Equation 1 at Equation 2 para matiyak kung tama ang ating solution set. 

        Para sa Equation 1:

      4x + 2y = 14

4(2) + 2(3) ≟ 14

          8 + 6 ≟ 14

       14 = 14

        Para sa Equation 2:

         5x + 2y = 16

   5(2) + 2(3) ≟ 16

10 + 6 ≟ 16

         16 = 16

        Mapapansin na tama pa rin ang nakuha nating solution set na (2, 3) sa ating simultaneous equations kahit na direkta nating ibinawas ang isang equation mula sa isa pang equation na hindi isinasaalang-alang ang kani-kanilang coefficients.

Dahil dito, nasasainyo na ang pumili ng pamamaraan na mas madali para sa inyo. 

Multiplying by a Constant

May mga pagkakataon na hindi natin direktang maidaragdag o maibabawas ang isang equation sa isa pa upang mawala ang isang variable o unknown. Magkaminsan, kailangan nating mag-multiply ng isang constant (positive o negative) upang ang coefficient ng x o y ng isang equation ay maging katulad o kapareho ng coefficient ng x o y ng isa pang equation. Nararapat ito nang sa gayon ay maisagawa natin ang elimination by addition o subtraction.

Halimbawa 3

Solve the following system by elimination:

3x + 4y = 52 (Equation 1)

  5x + y = 30 (Equation 2)

Pansinin ang Equation 1 at 2. Makikita na magkaiba ang coefficient ng x at y ng dalawang equation. Dahil dito, hindi natin magagamit nang direkta ang elimination by addition o subtraction.

Kailangan nating mag-multiply ng isang constant upang magkaroon ng magkaparehong coefficient ang ating sistema. 

                    3x + 4y = 52 (Equation 1)

      5x + y = 30 (Equation 2)

Anong constant ang ating imu-multiply sa isang equation upang maging kapareho nito ang coefficient ng isang variable ng isa pang equation?

Kung imu-multiply natin sa -4 ang Equation 2, magiging pareho na ang coefficient na x nito sa Equation 1. Subukin natin.

-4 (5x + y = 30)

-20x – 4y = - 120 (Equation 2a)

I-add natin ang Equation 2a sa Equation 1.

                     3x + 4y = 52 (Equation 1)

      +   -20x -4y = -120 (Equation 2a)

   -17x + 0 = -68

         -17x = -68

-  17x/-17 = -68/-17

               x = 4

Ihalili natin ang 4 sa x sa Equation 1 (o Equation 2) upang mahanap natin ang value ng y.

Para sa Equation 1:

3x + 4y = 52

     3(4) + 4y = 52

12 + 4y = 52

        4y = 40

     4y/4 = 40/4

          y = 10

        Upang matiyak na tama ang ating solution set na (4, 10), ihalili natin ang mga value na ito  sa Equation 1 at Equation 2.

        Para sa Equation 1:

        3x + 4y = 52

3(4) + 4(10) ≟ 52

       12 + 40 ≟ 52

        52 = 52

        Para sa Equation 2:

      5x + y = 30

5(4) + 10 ≟ 30

    20 + 10 ≟ 30

     30 = 30

        Dahil tama ang nakuha nating equality sa ating simultaneous equations, nangangahulugan ito na ang ating nakuhang solution set  na (4, 10) ay tumpak.

Summary

        To solve a system of linear equations in two variables by elimination, follow these steps: (Upang malutas ang system of linear equations na may dalawang variables o unknowns sa pamamagitan ng elimination, sundin ang mga hakbang na ito:)

1.    Arrange the two given equations in standard form, that is, ax + by = c, where a, b and c are constants. 

     ( Ayusin ang dalawang ibinigay na equation sa karaniwang anyo, iyon ay, ax + by = c, kung saan ang

a, b at c ay mga constants.)

2.    Reduce the two equations in two variables to a single equation in one variable. (Gawing isang equation na may isang variable/unknown ang dalawang equations na may dalawang variables/unknowns.)

a. If both equations have a variable with the same numerical coefficient, eliminate it by: (Kung ang dalawang equations ay may isang variable/unknown (x o y) na may parehong coefficient, alisin ito sa pamamagitan ng:)

        (1) adding the two equations if their coefficients have opposite signs; or [pag-add o pagdaragdag ng dalawang equation kung ang kanilang mga coefficient ay may magkasalungat na mga signs (positive at negative); o]

(2) subtracting the two equations if their coefficients have the same sign. (pagbabawas ng dalawang equation kung ang kanilang mga coefficients ay pareho ang mga signs (parehong positive o parehong negative).

        b. When neither variable has the same numerical coefficient, multiply one or both of the given equations by numbers which will make the numerical coefficients of one of the variables the same in both equations and proceed as in Step a. (Kapag walang parehong numerical coefficient ang alinman sa variable, i-multiply ang isa o parehong equation sa numero o mga numero para gawing magkapareho ang mga numerical coefficient ng isa sa mga variable sa parehong equation at magpatuloy tulad ng sa Hakbang a.)

3. Solve for the value of the remaining variable. (Kunin ang value ng natitirang variable/unknown.)

4.    Substitute this value to any of the given equations to find the value of the remaining variable. (Ihalili ang nakuha value sa alinman sa dalawang equations upang mahanap ang isa pang variable/unknown.)

5.    The resulting number pair is the solution set. (Ang makukuhang ordered pairs (x, y) ang solution set ng simultaneous equations.)

6.    Check the values by substituting them to the given equations. (Suriin ang mga values sa pamamagitan ng paghalili ng mga ito sa dalawang equations.)

        Ang mga equations sa ilang sistema ay maaaring maglaman ng mga fraction o mga simbolo ng pagpapangkat. Upang makatulong na malutas ang mga ito dapat mo munang gawing simple o iayos ang mga ito sa karaniwang anyo, ax + by = c. Pagkatapos ay maaari mo nang lutasin ang sistema sa pamamagitan ng simpleng pagdaragdag o pagbabawas.

Halimbawa 4 

        Solve −𝟏/𝟏𝟎𝒙 + 𝟏/𝟐𝒚 = 𝟒/𝟓     (Equation 1)

𝟏/𝟕𝒙 + 𝟏/𝟑𝒚 = −𝟐/𝟐𝟏     (Equation 2) 

Step 1: The equations should be cleared of fractions first.

Simplify Equation 1:

−𝟏/𝟏𝟎𝒙 + 𝟏/𝟐𝒚 = 𝟒/𝟓

a. Multiply the equation with the LCM of the denominators or the LCD of the fractions, which is 10.

        10 (−1/10𝑥 + 1/2𝑦 = 4/5)

        −10/10𝑥 + 10/2𝑦 = 40/5

                                  -x + 5y = 8 (Equation 3)

        Simplify Equation 2:

𝟏/𝟕𝒙 + 𝟏/𝟑𝒚 = −𝟐/𝟐𝟏

a. Multiply the equation with the LCM of the denominators or the LCD of the fractions, which is 21.

        21 (1/7𝑥 + 1/3𝑦 = −2)/21

         21/7𝑥 + 21/3𝑦 = −42/21

         3x + 7y = -2     (Equation 4)

        Our new equations in standard form==> ax + by = c

        -x + 5y = 8 (Equation 3)

       3x + 7y = -2 (Equation 4)

Step 2: Since there is no same coefficient in both equations, we need to multiply Equation 3 by 3 so that we can solve this system by elimination.

        3(-x + 5y = 8)

       -3x + 15y = 24 (Equation 3a)

Step 3. Add Equation 3a and Equation 4.

        -3x + 15y = 24 (Equation 3a)

           +    3x +   7y = -2 (Equation 4)

                 22y = 22

            22y/22 = 22/22

                     y = 1

Step 4: Substitute the value of y which is 1 into Equation 3 or 4 to find the value of x.

For Equation 4:

3x + 7y = -2

3x + 7(1) = -2

3x + 7 = -2

3x = -9

3x/3 = -9/3

x = -3

Step 5. Check if the solution set (-3, 1) is correct by substituting it for the original equations (Equation 1 and Equation 2).

For Equation 1:

−𝟏/𝟏𝟎𝒙 + 𝟏/𝟐𝒚 = 𝟒/𝟓

−1/10(−𝟑) + 1/2(𝟏) = 4/5

                3/10 + 1/2 = 4/5

          10(3/10 + 1/2 = 4/5)

           30/10 + 10/2 = 40/5

                       3 + 5 = 8

                             8 = 8

        For Equation 2:

         𝟏/𝟕𝒙 + 𝟏/𝟑𝒚 = −𝟐/𝟐𝟏

1/7(−𝟑) + 1/3(𝟏) = −2/21

            −𝟑/𝟕 + 𝟏/𝟑 = −𝟐/𝟐𝟏

      𝟐𝟏(−𝟑/𝟕 + 𝟏/𝟑 = −𝟐/𝟐𝟏)

       −𝟔𝟑/𝟕 + 𝟐𝟏/𝟑 = −𝟒𝟐/𝟐𝟏

                    -9 + 7 = - 2 

                                          -2 = -2

        Since we got two equalities, thus (-3, 1) is the solution set of our system of linear equations.

Pagsasanay 

        Solve the following system of linear equations or simultaneous equations by elimination and check your answers:

1. 5x + 3y = 17

  x + 3y = 1

2. 5x - 3y = 19

2x - 4y = 16

3. 𝑥/2+𝑦/8=4

𝑥/3  −𝑦/2=−2 

ANSWERS:

Lesson 4 - Systems of Linear Equations - Solving by Graphing

NOTES

        1. This tutorial in Taglish is based on Module: Equations 2 prepared and published by the Department of Education of the Philippines for the Alternative Learning System (ALS) program.

        2. Sorry for any typographical and/or grammatical error that has been missed.

       3. Please comment for any incorrect answers.

=================================================

        

Matapos nating mapag-aralan ang mga araling nakapaloob sa ALS Module Equations 1, dadako naman tayo sa ALS Module Equations 2 upang pag-aralan din ang mga leksyon dito. Ang mga ito ay magbibigay sa iyo ng karagdagang kaalaman sa pangunahing konsepto ng balance o equality na kinakatawan mathematically ng mga equation. Ito ay magtuturo sa iyo ng higit pa tungkol sa mga konsepto ng mga equation at kung paano ito makakatulong sa iyong lutasin ang mga problemang nangyayari sa iyong pang-araw-araw na buhay.

        Sa pagpapatuloy ng ating pag-aaral hinggil sa equation, ang bahaging ito ay kinabibilangan ng tatlong aralin:

Lesson 4 — Systems of Linear Equations 

Lesson 5 — Applications of Linear Equations 

Lesson 6 — Quadratic Equations

Ano ang Matutunan Mo sa Modyul na Ito?

        Pagkatapos mong pag-aralan ang modyul na ito, dapat ay kaya mo nang:

• 1-solve ang mga sistema ng mga linear na equation;

• gumamit ng mga linear na equation sa paglutas ng mga word problems; at

• mahanap ang mga values ng x sa ibinigay na mga quadratic equation

Lesson 4 — Systems of Linear Equations 

MATUTO TAYO

        Sa nakaraang module, natutunan nain kung paano i-graph ang isang linear equation na may dalawang variable sa pamamagitan ng paggamit ng x-intercept at ng y-intercept o sa pamamagitan ng paggawa ng table of values. Sa araling ito, muli nating tatalakayin ang mga linear equation na may dalawang variable. Ngunit sa pagkakataong ito, lulutasin natin ang dalawang linear equation na may 2 unknowns hindi lamang sa pamamagitan ng graph kundi pati na rin sa paggamit ng Algebra.

        Ang systems ng equation na katulad ng set na ibinigay sa itaas ay tinatawag na simultaneous equations dahil ang dalawang equation ay kumakatawan sa dalawang kundisyon na ipinataw nang sabay sa mga variables. Ang mga values ng mga variables na nakakatugon sa parehong equations ay sinasabing mga solutions of system of equations. Sa graph, ang bawat solusyon ay tumutugma sa isang punto ng intersection ng mga graph ng dalawang equations.

Halimbawa 1

        Solve the following graphically then check.

x + y = 6

       -3x + y = 2

        Maaari naming i-graph ang isang linear equation sa pamamagitan ng paggawa ng isang talahanayan ng mga ordered pairs o sa pamamagitan ng paggamit ng x- at ang y-intercepts. Gamitin natin ang mga intercepts.

        Para sa x + y = 6

    Kapag x =0, 0 + y = 6

                      y = 6

        Samakatuwid ang (0,6) ay isang solution.

        Kapag ang y = 0, x + 0 = 6

               x = 6

Samakatuwid, ang (6, 0) ay isa ring solution.

Para sa -3x + y = 2

Kapag x =0, -3(0) + y = 2 

                                               0 + y = 2

             y = 2

Samakatuwid, ang (0, 2) ay isang solution.

Kapag y = 0,         -3x + 0 = 2 

                                              -3x = 0

        -3x/-3 = 2/-3

                 x = -2/3

Samakatuwid, ang (-2/3, 0) ay isa ring solution.

        Ito ang magiging graph ng dalawang equations kapag inilapat natin ang kanilang mga solutions sa coordinate plane.  

        Makikita sa graph na ang point  (1, 5) ay isa ring posibleng solution. I-check natin sa pamamagitan ng paghalili ng mga ito sa ating orihinal na equations.

Para sa x + y = 6  ==>1 + 5 ≟ 6 ==> 6 = 6

Para sa -3x + y = 2 ==> -3 + 6 ≟ 2 ==> 2 = 2

        Samakatuwid, ang solution para sa ibinigay na system of linear equations ay

                             (1, 5).

Halimbawa 2

        Solve this system by graphing:

-4x + 10y = 6

2x – 5y = 3

Para sa -4x + 10y = 6

Kapag x =0, -4(0) + 10y = 6

                                                      0 + 10y = 6 

                                                       10y/10 = 6/10 

                                                     y = 6/10 = 3/5

Samakatuwid, ang (0, 3/5) ay isang solution.

Kapag y = 0,         -4x + 10(0) = 6

                                             -4x + 0 = 6 

                                                             -4x = 6 

                                                         -4x/-4 = 6/-4 

                                                                 x = -3/2 o -1 ½

Samakatuwid, ang (-3/2, 0) ay isa ring solution.

         Para sa 2x – 5y = 3

Kapag x = 0,             2(0) – 5y = 3 

                                                0 – 5y = 3 

                                                         -5y/-5 = 3/-5 

                                                                 y = -3/5

Samakatuwid, ang (0, -3/5) ay isang solution.

Kapag y = 0,             2x – 5(0) = 3 

                                                         2x – 0 = 3 

                                                            2x/2 = 3/2 

                                                                 x = 3/2 o 1 ½.

Samakatuwid, ang ( 3/2, 0) ay isa ring solution.

        I-plot ang mga solutions ng dalawang equations sa coordinate plane

        Mapapansin na ang dalawang linya ay parallel. Wala silang magkaparehong point o hindi sila nag-intersect. Upang masuri kung sila nga ay parallel, i-solve kung pareho ang kanilang mga slopes

        Para sa -4x + 10y = 6 (Gawin ito sa pormang y = mx + b)

                    10y = 4x + 6

               10y/10 = 4x/10 + 6/10

                        y = 2/5x + 3/5

        Samakatuwid, ang slope ay 2/5 at ang y-intercept ay 3/5.

        Para sa 2x - 5y = 3

                            -5y = -2x + 3

                       -5y/-5 = -2x/-5 + (3/-5)    

                              y = 2/5x - 3/5

Samakatuwid, ang slope ay 2/5 at ang y-intercept ay -3/5.

        Dahil magkapareho ang slope ng dalawang equations, masasabing no solution ang system. Ang solution set ay {} o null set.

Halimbawa 3

        Solve the following by graphing:

y = -2x + 1

2x + y = 1

Para sa y = -2x + 1

                    Kapag ang x = 0, y = 2(0) + 1 

                                                        y = 0 + 1

                y = 1

Samakatuwid, ang (0,1) ay isang solution.

Kapag ang y = 0,         0 = -2x + 1 

                                                    -2x = -1

        -2x/-2 = -1/-2 

                                                       x = 1/2 

Samakatuwid, ang (1/2, 0) ay isa ring solution.

                Para sa 2x + y = 1

                    Kapag ang x = 0, 2(0) + y = 1 

                                                            0 + y = 1

                          y = 1

Samakatuwid, ang (0,1) ay isang solution.

Kapag ang y = 0,         2x + 0 = 1 

                                                              2x = 1

                   2x/2 = 1/2 

                                                                x = 1/2 

Samakatuwid, ang (1/2, 0) ay isa ring solution.

    Mapupuna na ang dalawang equations ay may magkaparehong solution sets. 

            Kapag nai-plot natin ang solution sets ng dalawang equations, ito ang kalalabasan ng kanilang graph: 

            Mapapansin na ang mga graphs ng dalawang equations ay magkapareho o ang mga ito ay nag-coincide o nagkalapat. Ang mga solutions ng sistema ay ang mga ordered pairs na (0, 1) at (1/2, 0) sa alinmang equation.

            Mapapatunayan nating magkapareho nga ang graph ng dalawang equation o ang mga ito ay nagkalapat kung ang kanilang mga slopes at y-intercept ay magkapareho. Tingnan natin.

            Para sa y = -2x + 1,  dahil ang equation ay nasa slope-intercept na, ang slope nito ay -2 at ang y-intercept ay 1.

            Para sa 2x + y = 1, gawin muna natin ito sa slope-intercept form:   

2x + y = 1 ==> 2x – 2x + y = -2x + 1 ==> y = -2x + 1. Ang slope ay -2 at ang y-intercept ay 1. 

            Dahil ang dalawang equations ay may magkaparehong slope at y-intercept, sila ay tinatawag na equivalent equations.

    Ang kanilang solution set ay isang infinite o walang katapusang set na maaaring isulat ng ganito:

     {( x,y) |  2x + y =  1}

            at basahin bilang “the solution set is the set of all ordered pairs (x, y) such that 2x + y = 1”.

Summary

To solve a system of linear equations in two variables graphically, first, graph the equations on the same coordinate plane. Then consider the following:

1. If the graphs are parallel, the system has no solution.

2. If the graphs coincide, the system has an infinite set of solutions.

3. If the graphs intersect, the coordinates of the point of intersection form the solution of the system.

Pagsasanay

1. Determine whether the given ordered pair is a solution to the system of linear equations or not.

(3,2) 2x + 3y = 12

        x – 4y = -5

2. Determine whether the given ordered pair is a solution to the system of linear equations or not.

(2, 5) y = -x + 7

        2x = y – 1

3. Graphically, find the solution set of the system: 

                        x - 2y = 1

                        x -   y = 2 

4. Graphically, find the solution set of the system: 

                        y = 2x + 4

                        2x -  y = 2 

 5. Find the solution set of the system:

                          x = y

                        x + y = 3 by graphing. Use fractions if necessary.

6. Solve this system of equations graphically and check your solution:

                        x = y + 1

                                2x + y = -7

ANSWERS: